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environ vocabulary GATE_1; notation GATE_1; constructors GATE_1, XBOOLE_0; theorems GATE_1; begin :: Correctness of Johnson Counter Circuits. :: 2-bit Johnson Counter (2JC). :: state transition; s0(00) -> s1(01) -> s3(11) -> s2(10) -> s0... :: minor loop ; none theorem ::2JC: for s0,s1,s2,s3,ns0,ns1,ns2,ns3,q1,q2,nq1,nq2 being set holds ($s0 iff $AND2(NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s1 iff $AND2(NOT1 q2, q1))& ($s2 iff $AND2( q2, NOT1 q1))& ($s3 iff $AND2( q2, q1)) & ($ns0 iff $AND2(NOT1 nq2,NOT1 nq1))& ($ns1 iff $AND2(NOT1 nq2, nq1))& ($ns2 iff $AND2( nq2,NOT1 nq1))& ($ns3 iff $AND2( nq2, nq1)) & ($nq1 iff $NOT1 q2)& ($nq2 iff $q1) implies ($ns1 iff $s0)& ($ns3 iff $s1)& ($ns2 iff $s3)& ($ns0 iff $s2) proof let s0,s1,s2,s3,ns0,ns1,ns2,ns3,q1,q2,nq1,nq2 be set; assume that A1:($s0 iff $AND2(NOT1 q2,NOT1 q1)) and A2:($s1 iff $AND2(NOT1 q2,q1))and A3:($s2 iff $AND2(q2,NOT1 q1))and A4:($s3 iff $AND2(q2,q1))and A5: ($ns0 iff $AND2(NOT1 nq2,NOT1 nq1))and A6:($ns1 iff $AND2(NOT1 nq2,nq1))and A7:($ns2 iff $AND2(nq2,NOT1 nq1))and A8:($ns3 iff $AND2(nq2,nq1))and A9:($nq1 iff $NOT1 q2)and A10:($nq2 iff $q1); :: :: s0 -> s1 :: $ns1 iff $NOT1 nq2 & $nq1 by A6,GATE_1:6; then $ns1 iff $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A9,A10,GATE_1:4; hence $ns1 iff $s0 by A1,GATE_1:6; :: :: s1 -> s3 :: thus $ns3 iff $s1 by A2,A8,A9,A10,GATE_1:6; :: :: s3 -> s2 :: $ns2 iff $nq2 & $NOT1 nq1 by A7,GATE_1:6; then $ns2 iff $q2 & $q1 by A9,A10,GATE_1:4; hence $ns2 iff $s3 by A4,GATE_1:6; :: :: s2 -> s0 :: $ns0 iff $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A5,GATE_1:6; then $ns0 iff $q2 & $NOT1 q1 by A9,A10,GATE_1:4; hence $ns0 iff $s2 by A3,GATE_1:6; end; :: 2-bit Johnson Counter with a Reset input (2JCWR). :: initial state ; s*(xx) -> s0(00) [reset] :: state transition; s0(00) -> s1(01) -> s3(11) -> s2(10) -> s0... :: minor loop ; none theorem ::2JCWR: for s0,s1,s2,s3,ns0,ns1,ns2,ns3,q1,q2,nq1,nq2,R being set holds ($s0 iff $AND2(NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s1 iff $AND2(NOT1 q2, q1))& ($s2 iff $AND2( q2, NOT1 q1))& ($s3 iff $AND2( q2, q1)) & ($ns0 iff $AND2(NOT1 nq2,NOT1 nq1))& ($ns1 iff $AND2(NOT1 nq2, nq1))& ($ns2 iff $AND2( nq2,NOT1 nq1))& ($ns3 iff $AND2( nq2, nq1)) & ($nq1 iff $AND2(NOT1 q2, R))& ($nq2 iff $AND2( q1, R)) implies ($ns1 iff $AND2(s0, R))& ($ns3 iff $AND2(s1, R))& ($ns2 iff $AND2(s3, R))& ($ns0 iff $OR2(AND2(s2, R),NOT1 R)) proof let s0,s1,s2,s3,ns0,ns1,ns2,ns3,q1,q2,nq1,nq2,R be set; assume that A1:($s0 iff $AND2(NOT1 q2,NOT1 q1)) and A2:($s1 iff $AND2(NOT1 q2,q1))and A3:($s2 iff $AND2(q2,NOT1 q1))and A4:($s3 iff $AND2(q2,q1))and A5: ($ns0 iff $AND2(NOT1 nq2,NOT1 nq1))and A6:($ns1 iff $AND2(NOT1 nq2,nq1))and A7:($ns2 iff $AND2(nq2,NOT1 nq1))and A8:($ns3 iff $AND2(nq2,nq1))and A9:($nq1 iff $AND2(NOT1 q2,R))and A10:($nq2 iff $AND2( q1,R)); :: :: s0 -> s1 :: $ns1 iff $NOT1 nq2 & $nq1 by A6,GATE_1:6; then $ns1 iff $NOT1 q2 & $R & not($q1 & $R) by A9,A10,GATE_1:4,6; then $ns1 iff $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns1 iff $AND2(s0,R) by A1,GATE_1:6; :: :: s1 -> s3 :: $ns3 iff $NOT1 q2 & $q1 & $R by A8,A9,A10,GATE_1:6; hence $ns3 iff $AND2(s1,R) by A2,GATE_1:6; :: :: s3 -> s2 :: $ns2 iff $nq2 & $NOT1 nq1 by A7,GATE_1:6; then $ns2 iff not($NOT1 q2 & $R) & $q1 & $R by A9,A10,GATE_1:4,6; then $ns2 iff $q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns2 iff $AND2(s3,R) by A4,GATE_1:6; :: :: s2 -> s0 :: $ns0 iff $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A5,GATE_1:6; then $ns0 iff not($NOT1 q2 & $R) & not($q1 & $R) by A9,A10,GATE_1:4,6; then $ns0 iff ($q2 & $NOT1 q1 & $R) or not($R) by GATE_1:4; then $ns0 iff $AND2(s2,R) or $NOT1 R by A3,GATE_1:4,6; hence $ns0 iff $OR2(AND2(s2, R),NOT1 R) by GATE_1:7; end; :: 3-bit Johnson Counter (3JC). :: state transition; s0(000) -> s1(001) -> s3(011) -> s7(111) -> :: -> s6(110) -> s4(100) -> s0(000) ... :: minor loop ; s2(010) -> s5(101) -> s2(010) -> s5(101) ... theorem ::3JC: for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7, q1,q2,q3,nq1,nq2,nq3 being set holds ($s0 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s1 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, q1))& ($s2 iff $AND3(NOT1 q3, q2, NOT1 q1))& ($s3 iff $AND3(NOT1 q3, q2, q1))& ($s4 iff $AND3( q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s5 iff $AND3( q3, NOT1 q2, q1))& ($s6 iff $AND3( q3, q2, NOT1 q1))& ($s7 iff $AND3( q3, q2, q1)) & ($ns0 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))& ($ns1 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2, nq1))& ($ns2 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2,NOT1 nq1))& ($ns3 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2, nq1))& ($ns4 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))& ($ns5 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2, nq1))& ($ns6 iff $AND3( nq3, nq2,NOT1 nq1))& ($ns7 iff $AND3( nq3, nq2, nq1)) & ($nq1 iff $NOT1 q3)& ($nq2 iff $q1)& ($nq3 iff $q2) implies ($ns1 iff $s0)& ($ns3 iff $s1)& ($ns7 iff $s3)& ($ns6 iff $s7)& ($ns4 iff $s6)& ($ns0 iff $s4) & ($ns2 iff $s5)& ($ns5 iff $s2) proof let s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7, q1,q2,q3,nq1,nq2,nq3 be set; assume that A1:($s0 iff $AND3(NOT1 q3,NOT1 q2,NOT1 q1)) and A2:($s1 iff $AND3(NOT1 q3,NOT1 q2,q1))and A3:($s2 iff $AND3(NOT1 q3,q2,NOT1 q1))and A4:($s3 iff $AND3(NOT1 q3,q2,q1))and A5:($s4 iff $AND3(q3,NOT1 q2,NOT1 q1))and A6:($s5 iff $AND3(q3,NOT1 q2,q1))and A7:($s6 iff $AND3(q3,q2,NOT1 q1))and A8:($s7 iff $AND3(q3,q2,q1))and A9:($ns0 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))and A10:($ns1 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,nq1))and A11:($ns2 iff $AND3(NOT1 nq3,nq2,NOT1 nq1))and A12:($ns3 iff $AND3(NOT1 nq3,nq2,nq1))and A13:($ns4 iff $AND3(nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))and A14:($ns5 iff $AND3(nq3,NOT1 nq2,nq1))and A15:($ns6 iff $AND3(nq3,nq2,NOT1 nq1))and A16:($ns7 iff $AND3(nq3,nq2,nq1))and A17:($nq1 iff $NOT1 q3)and A18:($nq2 iff $q1)and A19:($nq3 iff $q2); :: :: s0 -> s1 :: $ns1 iff $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A10,GATE_1:16; then $ns1 iff $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns1 iff $s0 by A1,GATE_1:16; :: :: s1 -> s3 :: $ns3 iff $NOT1 nq3 & $nq2 & $nq1 by A12,GATE_1:16; then $ns3 iff $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns3 iff $s1 by A2,GATE_1:16; :: :: s3 -> s7 :: thus $ns7 iff $s3 by A4,A16,A17,A18,A19,GATE_1:16; :: :: s7 -> s6 :: $ns6 iff $nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A15,GATE_1:16; then $ns6 iff $q3 & $q2 & $q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns6 iff $s7 by A8,GATE_1:16; :: :: s6 -> s4 :: $ns4 iff $nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A13,GATE_1:16; then $ns4 iff $q3 & $q2 & $NOT1 q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns4 iff $s6 by A7,GATE_1:16; :: :: s4 -> s0 :: $ns0 iff $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A9,GATE_1:16; then $ns0 iff $q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns0 iff $s4 by A5,GATE_1:16; :: :: minor loop :: s5 -> s2 :: $ns2 iff $NOT1 nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A11,GATE_1:16; then $ns2 iff $q3 & $NOT1 q2 & $q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns2 iff $s5 by A6,GATE_1:16; :: :: minor loop :: s2 -> s5 :: $ns5 iff $nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A14,GATE_1:16; then $ns5 iff $NOT1 q3 & $q2 & $NOT1 q1 by A17,A18,A19,GATE_1:4; hence $ns5 iff $s2 by A3,GATE_1:16; end; :: 3-bit Johnson Counter with a Reset input (3JCWR). :: initial state ; s*(xxx) -> s0(000) [reset] :: state transition; s0(000) -> s1(001) -> s3(011) -> s7(111) -> :: -> s6(110) -> s4(100) -> s0(000) ... :: minor loop ; s2(010) -> s5(101) -> s2(010) -> s5(101) ... theorem ::3JCWR: for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7, q1,q2,q3,nq1,nq2,nq3,R being set holds ($s0 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s1 iff $AND3(NOT1 q3, NOT1 q2, q1))& ($s2 iff $AND3(NOT1 q3, q2, NOT1 q1))& ($s3 iff $AND3(NOT1 q3, q2, q1))& ($s4 iff $AND3( q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s5 iff $AND3( q3, NOT1 q2, q1))& ($s6 iff $AND3( q3, q2, NOT1 q1))& ($s7 iff $AND3( q3, q2, q1)) & ($ns0 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))& ($ns1 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2, nq1))& ($ns2 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2,NOT1 nq1))& ($ns3 iff $AND3(NOT1 nq3, nq2, nq1))& ($ns4 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))& ($ns5 iff $AND3( nq3,NOT1 nq2, nq1))& ($ns6 iff $AND3( nq3, nq2,NOT1 nq1))& ($ns7 iff $AND3( nq3, nq2, nq1)) & ($nq1 iff $AND2(NOT1 q3, R))& ($nq2 iff $AND2( q1, R))& ($nq3 iff $AND2( q2, R)) implies ($ns1 iff $AND2(s0, R))& ($ns3 iff $AND2(s1, R))& ($ns7 iff $AND2(s3, R))& ($ns6 iff $AND2(s7, R))& ($ns4 iff $AND2(s6, R))& ($ns0 iff $OR2(AND2(s4, R),NOT1 R)) & ($ns2 iff $AND2(s5, R))& ($ns5 iff $AND2(s2, R)) proof let s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7, q1,q2,q3,nq1,nq2,nq3,R be set; assume that A1:($s0 iff $AND3(NOT1 q3,NOT1 q2,NOT1 q1)) and A2:($s1 iff $AND3(NOT1 q3,NOT1 q2,q1))and A3:($s2 iff $AND3(NOT1 q3,q2,NOT1 q1))and A4:($s3 iff $AND3(NOT1 q3,q2,q1))and A5:($s4 iff $AND3(q3,NOT1 q2,NOT1 q1))and A6:($s5 iff $AND3(q3,NOT1 q2,q1))and A7:($s6 iff $AND3(q3,q2,NOT1 q1))and A8:($s7 iff $AND3(q3,q2,q1))and A9:($ns0 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))and A10:($ns1 iff $AND3(NOT1 nq3,NOT1 nq2,nq1))and A11:($ns2 iff $AND3(NOT1 nq3,nq2,NOT1 nq1))and A12:($ns3 iff $AND3(NOT1 nq3,nq2,nq1))and A13:($ns4 iff $AND3(nq3,NOT1 nq2,NOT1 nq1))and A14:($ns5 iff $AND3(nq3,NOT1 nq2,nq1))and A15:($ns6 iff $AND3(nq3,nq2,NOT1 nq1))and A16:($ns7 iff $AND3(nq3,nq2,nq1))and A17:($nq1 iff $AND2(NOT1 q3,R))and A18:($nq2 iff $AND2( q1,R))and A19:($nq3 iff $AND2( q2,R)); :: :: s0 -> s1 :: $ns1 iff $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A10,GATE_1:16; then $ns1 iff $NOT1 q3 & $R & not($q2 & $R) & not($q1 & $R) by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns1 iff $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns1 iff $AND2(s0,R) by A1,GATE_1:6,16; :: :: s1 -> s3 :: $ns3 iff $NOT1 nq3 & $nq2 & $nq1 by A12,GATE_1:16; then $ns3 iff $NOT1 q3 & $R & not($q2 & $R) & $q1 & $R by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns3 iff $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns3 iff $AND2(s1,R) by A2,GATE_1:6,16; :: :: s3 -> s7 :: $ns7 iff $NOT1 q3 & $R & $q2 & $R & $q1 & $R by A16,A17,A18,A19,GATE_1:6,16; hence $ns7 iff $AND2(s3,R) by A4,GATE_1:6,16; :: :: s7 -> s6 :: $ns6 iff $nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A15,GATE_1:16; then $ns6 iff not($NOT1 q3 & $R) & $q2 & $R & $q1 & $R by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns6 iff $q3 & $q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns6 iff $AND2(s7,R) by A8,GATE_1:6,16; :: :: s6 -> s4 :: $ns4 iff $nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A13,GATE_1:16; then $ns4 iff not($NOT1 q3 & $R) & $q2 & $R & not($q1 & $R) by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns4 iff $q3 & $q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns4 iff $AND2(s6,R) by A7,GATE_1:6,16; :: :: s4 -> s0(not reset), or s* -> s0(reset) :: $ns0 iff $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A9,GATE_1:16; then $ns0 iff not($NOT1 q3 & $R) & not($q2 & $R) & not($q1 & $R) by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns0 iff ($q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R) or not($R) by GATE_1:4; then $ns0 iff $AND2(s4,R) or $NOT1 R by A5,GATE_1:4,6,16; hence $ns0 iff $OR2(AND2(s4, R),NOT1 R) by GATE_1:7; :: :: minor loop :: s5 -> s2 :: $ns2 iff $NOT1 nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A11,GATE_1:16; then $ns2 iff not($NOT1 q3 & $R) & not($q2 & $R) & $q1 & $R by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns2 iff $q3 & $NOT1 q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns2 iff $AND2(s5,R) by A6,GATE_1:6,16; :: :: minor loop :: s2 -> s5 :: $ns5 iff $nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A14,GATE_1:16; then $ns5 iff $NOT1 q3 & $R & $q2 & $R & not($q1 & $R) by A17,A18,A19,GATE_1:4,6; then $ns5 iff $NOT1 q3 & $q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns5 iff $AND2(s2,R) by A3,GATE_1:6,16; end; :: 4-bit Johnson Counter (4JC). :: state transition; s0(0000) -> s1(0001) -> s3(0011) -> s7(0111) -> :: ->s15(1111) ->s14(1110) ->s12(1100) -> s8(1000) -> s0.. :: minor loop ; s2(0010) -> s5(0101) ->s11(1011) -> s6(0110) -> :: ->s13(1101) ->s10(1010) -> s4(0100) -> s9(1001) -> s2.. theorem ::4JC: for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12,s13,s14,s15, ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,ns8,ns9,ns10,ns11,ns12,ns13,ns14,ns15, q1,q2,q3,q4,nq1,nq2,nq3,nq4 being set holds ($s0 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s1 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))& ($s2 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))& ($s3 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, q1))& ($s4 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s5 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, q1))& ($s6 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, NOT1 q1))& ($s7 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, q1))& ($s8 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s9 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))& ($s10 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))& ($s11 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, q1))& ($s12 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s13 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, q1))& ($s14 iff $AND4( q4, q3, q2, NOT1 q1))& ($s15 iff $AND4( q4, q3, q2, q1)) & ($ns0 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns1 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns2 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns3 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))& ($ns4 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns5 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns6 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns7 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, nq1))& ($ns8 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns9 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns10 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns11 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))& ($ns12 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns13 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns14 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns15 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, nq1)) & ($nq1 iff $NOT1 q4)& ($nq2 iff $q1)& ($nq3 iff $q2)& ($nq4 iff $q3) implies ($ns1 iff $s0 )& ($ns3 iff $s1 )& ($ns7 iff $s3 )& ($ns15 iff $s7 )& ($ns14 iff $s15)& ($ns12 iff $s14)& ($ns8 iff $s12)& ($ns0 iff $s8 ) & ($ns5 iff $s2 )& ($ns11 iff $s5 )& ($ns6 iff $s11)& ($ns13 iff $s6 )& ($ns10 iff $s13)& ($ns4 iff $s10)& ($ns9 iff $s4 )& ($ns2 iff $s9 ) proof let s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12,s13,s14,s15, ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,ns8,ns9,ns10,ns11,ns12,ns13,ns14,ns15, q1,q2,q3,q4,nq1,nq2,nq3,nq4 be set; assume that A1:($s0 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A2: ($s1 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1)) and A3: ($s2 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1)) and A4: ($s3 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, q1)) and A5: ($s4 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A6: ($s5 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, q1)) and A7: ($s6 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, NOT1 q1)) and A8: ($s7 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, q1)) and A9: ($s8 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A10:($s9 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1)) and A11:($s10 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1)) and A12:($s11 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, q1)) and A13:($s12 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A14:($s13 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, q1)) and A15:($s14 iff $AND4( q4, q3, q2, NOT1 q1)) and A16:($s15 iff $AND4( q4, q3, q2, q1)) and A17:($ns0 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A18:($ns1 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A19:($ns2 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A20:($ns3 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1)) and A21:($ns4 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A22:($ns5 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A23:($ns6 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A24:($ns7 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, nq1)) and A25:($ns8 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A26:($ns9 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A27:($ns10 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A28:($ns11 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1)) and A29:($ns12 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A30:($ns13 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A31:($ns14 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A32:($ns15 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, nq1)) and A33:($nq1 iff $NOT1 q4) and A34:($nq2 iff $q1) and A35:($nq3 iff $q2) and A36:($nq4 iff $q3); :: :: s0 -> s1 :: $ns1 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A18,GATE_1:22; then $ns1 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns1 iff $s0 by A1,GATE_1:22; :: :: s1 -> s3 :: $ns3 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $nq1 by A20,GATE_1:22; then $ns3 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1: 4; hence $ns3 iff $s1 by A2,GATE_1:22; :: :: s3 -> s7 :: $ns7 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $nq2 & $nq1 by A24,GATE_1:22; then $ns7 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns7 iff $s3 by A4,GATE_1:22; :: :: s7 -> s15 :: thus $ns15 iff $s7 by A8,A32,A33,A34,A35,A36,GATE_1:22; :: :: s15 -> s14 :: $ns14 iff $nq4 & $nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A31,GATE_1:22; then $ns14 iff $q4 & $q3 & $q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns14 iff $s15 by A16,GATE_1:22; :: :: s14 -> s12 :: $ns12 iff $nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A29,GATE_1:22; then $ns12 iff $q4 & $q3 & $q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns12 iff $s14 by A15,GATE_1:22; :: :: s12 -> s8 :: $ns8 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A25,GATE_1:22; then $ns8 iff $q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns8 iff $s12 by A13,GATE_1:22; :: :: s8 -> s0 :: $ns0 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A17,GATE_1:22; then $ns0 iff $q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1: 4; hence $ns0 iff $s8 by A9,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s2 -> s5 :: $ns5 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A22,GATE_1:22; then $ns5 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1: 4; hence $ns5 iff $s2 by A3,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s5 -> s11 :: $ns11 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $nq1 by A28,GATE_1:22; then $ns11 iff $NOT1 q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns11 iff $s5 by A6,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s11 -> s6 :: $ns6 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A23,GATE_1:22; then $ns6 iff $q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns6 iff $s11 by A12,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s6 -> s13 :: $ns13 iff $nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A30,GATE_1:22; then $ns13 iff $NOT1 q4 & $q3 & $q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns13 iff $s6 by A7,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s13 -> s10 :: $ns10 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A27,GATE_1:22; then $ns10 iff $q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns10 iff $s13 by A14,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s10 -> s4 :: $ns4 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A21,GATE_1:22; then $ns4 iff $q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns4 iff $s10 by A11,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s4 -> s9 :: $ns9 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A26,GATE_1:22; then $ns9 iff $NOT1 q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1: 4; hence $ns9 iff $s4 by A5,GATE_1:22; :: :: minor loop :: s9 -> s2 :: $ns2 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A19,GATE_1:22; then $ns2 iff $q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $q1 by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4; hence $ns2 iff $s9 by A10,GATE_1:22; end; :: 4-bit Johnson Counter with a Reset input (4JCWR). :: initial state ; s*(xxxx) -> s0(0000) [reset] :: state transition; s0(0000) -> s1(0001) -> s3(0011) -> s7(0111) -> :: ->s15(1111) ->s14(1110) ->s12(1100) -> s8(1000) -> s0.. :: minor loop ; s2(0010) -> s5(0101) ->s11(1011) -> s6(0110) -> :: ->s13(1101) ->s10(1010) -> s4(0100) -> s9(1001) -> s2.. theorem ::4JCRW: for s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12,s13,s14,s15, ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,ns8,ns9,ns10,ns11,ns12,ns13,ns14,ns15, q1,q2,q3,q4,nq1,nq2,nq3,nq4,R being set holds ($s0 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s1 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))& ($s2 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))& ($s3 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, q1))& ($s4 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s5 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, q1))& ($s6 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, NOT1 q1))& ($s7 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, q1))& ($s8 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s9 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1))& ($s10 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1))& ($s11 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, q1))& ($s12 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1))& ($s13 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, q1))& ($s14 iff $AND4( q4, q3, q2, NOT1 q1))& ($s15 iff $AND4( q4, q3, q2, q1)) & ($ns0 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns1 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns2 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns3 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))& ($ns4 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns5 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns6 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns7 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, nq1))& ($ns8 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns9 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns10 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns11 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1))& ($ns12 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1))& ($ns13 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1))& ($ns14 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1))& ($ns15 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, nq1)) & ($nq1 iff $AND2(NOT1 q4,R))& ($nq2 iff $AND2( q1,R))& ($nq3 iff $AND2( q2,R))& ($nq4 iff $AND2( q3,R)) implies ($ns1 iff $AND2(s0 ,R))& ($ns3 iff $AND2(s1 ,R))& ($ns7 iff $AND2(s3 ,R))& ($ns15 iff $AND2(s7 ,R))& ($ns14 iff $AND2(s15,R))& ($ns12 iff $AND2(s14,R))& ($ns8 iff $AND2(s12,R))& ($ns0 iff $OR2(AND2(s8 ,R),NOT1 R)) & ($ns5 iff $AND2(s2 ,R))& ($ns11 iff $AND2(s5 ,R))& ($ns6 iff $AND2(s11,R))& ($ns13 iff $AND2(s6 ,R))& ($ns10 iff $AND2(s13,R))& ($ns4 iff $AND2(s10,R))& ($ns9 iff $AND2(s4 ,R))& ($ns2 iff $AND2(s9 ,R)) proof let s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12,s13,s14,s15, ns0,ns1,ns2,ns3,ns4,ns5,ns6,ns7,ns8,ns9,ns10,ns11,ns12,ns13,ns14,ns15, q1,q2,q3,q4,nq1,nq2,nq3,nq4,R be set; assume that A1:($s0 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A2: ($s1 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1)) and A3: ($s2 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1)) and A4: ($s3 iff $AND4(NOT1 q4, NOT1 q3, q2, q1)) and A5: ($s4 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A6: ($s5 iff $AND4(NOT1 q4, q3, NOT1 q2, q1)) and A7: ($s6 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, NOT1 q1)) and A8: ($s7 iff $AND4(NOT1 q4, q3, q2, q1)) and A9: ($s8 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A10:($s9 iff $AND4( q4, NOT1 q3, NOT1 q2, q1)) and A11:($s10 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, NOT1 q1)) and A12:($s11 iff $AND4( q4, NOT1 q3, q2, q1)) and A13:($s12 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, NOT1 q1)) and A14:($s13 iff $AND4( q4, q3, NOT1 q2, q1)) and A15:($s14 iff $AND4( q4, q3, q2, NOT1 q1)) and A16:($s15 iff $AND4( q4, q3, q2, q1)) and A17:($ns0 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A18:($ns1 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A19:($ns2 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A20:($ns3 iff $AND4(NOT1 nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1)) and A21:($ns4 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A22:($ns5 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A23:($ns6 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A24:($ns7 iff $AND4(NOT1 nq4, nq3, nq2, nq1)) and A25:($ns8 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A26:($ns9 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A27:($ns10 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A28:($ns11 iff $AND4( nq4, NOT1 nq3, nq2, nq1)) and A29:($ns12 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, NOT1 nq1)) and A30:($ns13 iff $AND4( nq4, nq3, NOT1 nq2, nq1)) and A31:($ns14 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, NOT1 nq1)) and A32:($ns15 iff $AND4( nq4, nq3, nq2, nq1)) and A33:($nq1 iff $AND2(NOT1 q4,R)) and A34:($nq2 iff $AND2( q1,R)) and A35:($nq3 iff $AND2( q2,R)) and A36:($nq4 iff $AND2( q3,R)); :: :: s0 -> s1 :: $ns1 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A18,GATE_1:22; then $ns1 iff $NOT1 q4 & $R & not($q3 & $R) & not($q2 & $R) & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns1 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns1 iff $AND2(s0,R) by A1,GATE_1:6,22; :: :: s1 -> s3 :: $ns3 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $nq1 by A20,GATE_1:22; then $ns3 iff $NOT1 q4 & $R & not($q3 & $R) & not($q2 & $R) & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns3 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns3 iff $AND2(s1,R) by A2,GATE_1:6,22; :: :: s3 -> s7 :: $ns7 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $nq2 & $nq1 by A24,GATE_1:22; then $ns7 iff $NOT1 q4 & $R & not($q3 & $R) & $q2 & $R & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns7 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns7 iff $AND2(s3,R) by A4,GATE_1:6,22; :: :: s7 -> s15 :: $ns15 iff $NOT1 q4 & $R & $q3 & $R & $q2 & $R & $q1 & $R by A32,A33,A34,A35,A36,GATE_1:6,22; hence $ns15 iff $AND2(s7,R) by A8,GATE_1:6,22; :: :: s15 -> s14 :: $ns14 iff $nq4 & $nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A31,GATE_1:22; then $ns14 iff not($NOT1 q4 & $R) & $q3 & $R & $q2 & $R & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns14 iff $q4 & $q3 & $q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns14 iff $AND2(s15,R) by A16,GATE_1:6,22; :: :: s14 -> s12 :: $ns12 iff $nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A29,GATE_1:22; then $ns12 iff not($NOT1 q4 & $R) & $q3 & $R & $q2 & $R & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns12 iff $q4 & $q3 & $q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns12 iff $AND2(s14,R) by A15,GATE_1:6,22; :: :: s12 -> s8 :: $ns8 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A25,GATE_1:22; then $ns8 iff not($NOT1 q4 & $R) & $q3 & $R & not($q2 & $R) & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns8 iff $q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns8 iff $AND2(s12,R) by A13,GATE_1:6,22; :: :: s8 -> s0 :: $ns0 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A17,GATE_1:22; then $ns0 iff not($NOT1 q4 & $R) & not($q3 & $R) & not($q2 & $R) & not($q1 & $ R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns0 iff ($q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R) or not($R) by GATE_1:4; then $ns0 iff $AND2(s8,R) or $NOT1 R by A9,GATE_1:4,6,22; hence $ns0 iff $OR2(AND2(s8, R),NOT1 R) by GATE_1:7; :: :: minor loop :: s2 -> s5 :: $ns5 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A22,GATE_1:22; then $ns5 iff $NOT1 q4 & $R & not($q3 & $R) & $q2 & $R & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns5 iff $NOT1 q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns5 iff $AND2(s2,R) by A3,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s5 -> s11 :: $ns11 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $nq1 by A28,GATE_1:22; then $ns11 iff $NOT1 q4 & $R & $q3 & $R & not($q2 & $R) & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns11 iff $NOT1 q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns11 iff $AND2(s5,R) by A6,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s11 -> s6 :: $ns6 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A23,GATE_1:22; then $ns6 iff not($NOT1 q4 & $R) & not($q3 & $R) & $q2 & $R & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns6 iff $q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns6 iff $AND2(s11,R) by A12,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s6 -> s13 :: $ns13 iff $nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A30,GATE_1:22; then $ns13 iff $NOT1 q4 & $R & $q3 & $R & $q2 & $R & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns13 iff $NOT1 q4 & $q3 & $q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns13 iff $AND2(s6,R) by A7,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s13 -> s10 :: $ns10 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A27,GATE_1:22; then $ns10 iff not($NOT1 q4 & $R) & $q3 & $R & not($q2 & $R) & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns10 iff $q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns10 iff $AND2(s13,R) by A14,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s10 -> s4 :: $ns4 iff $NOT1 nq4 & $nq3 & $NOT1 nq2 & $NOT1 nq1 by A21,GATE_1:22; then $ns4 iff not($NOT1 q4 & $R) & not($q3 & $R) & $q2 & $R & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns4 iff $q4 & $NOT1 q3 & $q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns4 iff $AND2(s10,R) by A11,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s4 -> s9 :: $ns9 iff $nq4 & $NOT1 nq3 & $NOT1 nq2 & $nq1 by A26,GATE_1:22; then $ns9 iff $NOT1 q4 & $R & $q3 & $R & not($q2 & $R) & not($q1 & $R) by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns9 iff $NOT1 q4 & $q3 & $NOT1 q2 & $NOT1 q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns9 iff $AND2(s4,R) by A5,GATE_1:6,22; :: :: minor loop :: s9 -> s2 :: $ns2 iff $NOT1 nq4 & $NOT1 nq3 & $nq2 & $NOT1 nq1 by A19,GATE_1:22; then $ns2 iff not($NOT1 q4 & $R) & not($q3 & $R) & not($q2 & $R) & $q1 & $R by A33,A34,A35,A36,GATE_1:4,6; then $ns2 iff $q4 & $NOT1 q3 & $NOT1 q2 & $q1 & $R by GATE_1:4; hence $ns2 iff $AND2(s9,R) by A10,GATE_1:6,22; end;