let M be non empty set ; :: thesis: for V being ComplexNormSpace
for f2 being PartFunc of M,V
for z being Complex
for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (z (#) f2)
let V be ComplexNormSpace; :: thesis: for f2 being PartFunc of M,V
for z being Complex
for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (z (#) f2)
let f2 be PartFunc of M,V; :: thesis: for z being Complex
for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (z (#) f2)
let z be Complex; :: thesis: for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (z (#) f2)
let f1 be PartFunc of M,COMPLEX; :: thesis: z (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (z (#) f2)
A1: dom (z (#) (f1 (#) f2)) = dom (f1 (#) f2) by Def2
.= (dom f1) /\ (dom f2) by Def1
.= (dom f1) /\ (dom (z (#) f2)) by Def2
.= dom (f1 (#) (z (#) f2)) by Def1 ;

now :: thesis: for x being Element of M st x in dom (z (#) (f1 (#) f2)) holds
(z (#) (f1 (#) f2)) /. x = (f1 (#) (z (#) f2)) /. x

let x be Element of M; :: thesis: ( x in dom (z (#) (f1 (#) f2)) implies (z (#) (f1 (#) f2)) /. x = (f1 (#) (z (#) f2)) /. x )
assume A2: x in dom (z (#) (f1 (#) f2)) ; :: thesis: (z (#) (f1 (#) f2)) /. x = (f1 (#) (z (#) f2)) /. x
then A3: x in dom (f1 (#) f2) by Def2;
x in (dom f1) /\ (dom (z (#) f2)) by A1, A2, Def1;
then A4: x in dom (z (#) f2) by XBOOLE_0:def 4;
thus (z (#) (f1 (#) f2)) /. x = z * ((f1 (#) f2) /. x) by A2, Def2
.= z * ((f1 /. x) * (f2 /. x)) by A3, Def1
.= ((f1 /. x) * z) * (f2 /. x) by CLVECT_1:def 4
.= (f1 /. x) * (z * (f2 /. x)) by CLVECT_1:def 4
.= (f1 /. x) * ((z (#) f2) /. x) by A4, Def2
.= (f1 (#) (z (#) f2)) /. x by A1, A2, Def1 ; :: thesis: verum

end;

hence z (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (z (#) f2) by A1, PARTFUN2:1; :: thesis: verum