let SAS be Semi_Affine_Space; :: thesis: for a, b, c being Element of SAS st a,b // a,c holds
( a,c // a,b & b,a // a,c & a,b // c,a & a,c // b,a & b,a // c,a & c,a // a,b & c,a // b,a & b,a // b,c & a,b // b,c & b,a // c,b & b,c // b,a & a,b // c,b & c,b // b,a & b,c // a,b & c,b // a,b & c,a // c,b & a,c // c,b & c,a // b,c & a,c // b,c & c,b // c,a & b,c // c,a & c,b // a,c & b,c // a,c )
let a, b, c be Element of SAS; :: thesis: ( a,b // a,c implies ( a,c // a,b & b,a // a,c & a,b // c,a & a,c // b,a & b,a // c,a & c,a // a,b & c,a // b,a & b,a // b,c & a,b // b,c & b,a // c,b & b,c // b,a & a,b // c,b & c,b // b,a & b,c // a,b & c,b // a,b & c,a // c,b & a,c // c,b & c,a // b,c & a,c // b,c & c,b // c,a & b,c // c,a & c,b // a,c & b,c // a,c ) )
assume A1: a,b // a,c ; :: thesis: ( a,c // a,b & b,a // a,c & a,b // c,a & a,c // b,a & b,a // c,a & c,a // a,b & c,a // b,a & b,a // b,c & a,b // b,c & b,a // c,b & b,c // b,a & a,b // c,b & c,b // b,a & b,c // a,b & c,b // a,b & c,a // c,b & a,c // c,b & c,a // b,c & a,c // b,c & c,b // c,a & b,c // c,a & c,b // a,c & b,c // a,c )
then a,c // a,b by Th2;
then A2: c,a // c,b by Def1;
b,a // b,c by A1, Def1;
hence ( a,c // a,b & b,a // a,c & a,b // c,a & a,c // b,a & b,a // c,a & c,a // a,b & c,a // b,a & b,a // b,c & a,b // b,c & b,a // c,b & b,c // b,a & a,b // c,b & c,b // b,a & b,c // a,b & c,b // a,b & c,a // c,b & a,c // c,b & c,a // b,c & a,c // b,c & c,b // c,a & b,c // c,a & c,b // a,c & b,c // a,c ) by A1, A2, Th6; :: thesis: verum