let P be Instruction-Sequence of SCMPDS; :: thesis:
let s be 0 -started State of SCMPDS; :: thesis:
set b = DataLoc ((s . GBP),6);
set a = GBP ;
assume that
A1: s . (intpos 4) >= 7 + (s . (DataLoc ((s . GBP),6))) and
A2: s . GBP = 0 ; :: thesis:
A3: DataLoc ((s . GBP),6) = intpos (0 + 6) by A2, SCMP_GCD:1;
defpred S₁[ Nat] means for t being 0 -started State of SCMPDS
for Q being Instruction-Sequence of SCMPDS st t . (intpos 6) <= $1 & t . (intpos 4) >= 7 + (t . (intpos 6)) & t . GBP = 0 holds
( (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . GBP = 0 & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 1) = t . (intpos 1) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 2) = t . (intpos 2) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 3) = t . (intpos 3) );
A4: S₁[ 0 ]

proof

let t be 0 -started State of SCMPDS; :: thesis:
let Q be Instruction-Sequence of SCMPDS; :: thesis:
assume that
A5: t . (intpos 6) <= 0 and
t . (intpos 4) >= 7 + (t . (intpos 6)) and
A6: t . GBP = 0 ; :: thesis:
A7: DataLoc ((t . GBP),6) = intpos (0 + 6) by A6, SCMP_GCD:1;
hence (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . GBP = 0 by A5, A6, SCMPDS_8:23; :: thesis:
thus ( (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 1) = t . (intpos 1) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 2) = t . (intpos 2) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 3) = t . (intpos 3) ) by A5, A7, SCMPDS_8:23; :: thesis:

end;

A8: for k being Nat st S₁[k] holds
S₁[k + 1]

proof

let k be Nat; :: thesis:
assume A9: S₁[k] ; :: thesis:
thus S₁[k + 1] :: thesis:

proof

let t be 0 -started State of SCMPDS; :: thesis:
let Q be Instruction-Sequence of SCMPDS; :: thesis:
set bt = DataLoc ((t . GBP),6);
assume that
A10: t . (intpos 6) <= k + 1 and
A11: t . (intpos 4) >= 7 + (t . (intpos 6)) and
A12: t . GBP = 0 ; :: thesis:
A13: DataLoc ((t . GBP),6) = intpos (0 + 6) by A12, SCMP_GCD:1;

per cases ;

suppose t . (DataLoc ((t . GBP),6)) <= 0 ; :: thesis:

hence ( (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . GBP = 0 & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 1) = t . (intpos 1) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 2) = t . (intpos 2) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 3) = t . (intpos 3) ) by A12, SCMPDS_8:23; :: thesis:

end;

suppose A14: t . (DataLoc ((t . GBP),6)) > 0 ; :: thesis:

A15: for v being 0 -started State of SCMPDS
for Q being Instruction-Sequence of SCMPDS st ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
v . x >= 7 + (v . (DataLoc ((t . GBP),6))) ) & v . GBP = t . GBP & v . (DataLoc ((t . GBP),6)) > 0 holds
( (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,v)) . GBP = v . GBP & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_closed_on v,Q & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_halting_on v,Q & (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,v)) . (DataLoc ((t . GBP),6)) < v . (DataLoc ((t . GBP),6)) & ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,v)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,v)) . (DataLoc ((t . GBP),6))) ) )

proof

let v be 0 -started State of SCMPDS; :: thesis:
let V be Instruction-Sequence of SCMPDS; :: thesis:
A16: Initialize v = v by MEMSTR_0:44;
assume that
A17: for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
v . x >= 7 + (v . (DataLoc ((t . GBP),6))) and
A18: ( v . GBP = t . GBP & v . (DataLoc ((t . GBP),6)) > 0 ) ; :: thesis:
set Iv = IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,(Initialize (Initialize v)));
A19: v . GBP = (Initialize v) . GBP by SCMPDS_5:15;
A20: v . (intpos 4) = (Initialize v) . (intpos 4) by SCMPDS_5:15;
A21: v . (intpos 6) = (Initialize v) . (intpos 6) by SCMPDS_5:15;
A22: intpos 4 in {(intpos 4)} by TARSKI:def 1;
then A23: v . (intpos 4) >= 7 + (v . (intpos 6)) by A13, A17;
hence (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,v)) . GBP = v . GBP by A12, A13, A18, Lm6; :: thesis:
thus ( (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_closed_on v,V & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_halting_on v,V ) by SCMPDS_6:20, SCMPDS_6:21; :: thesis:
thus (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,v)) . (DataLoc ((t . GBP),6)) < v . (DataLoc ((t . GBP),6)) by A12, A13, A18, A23, Lm7; :: thesis:
v . (intpos 4) >= 7 + (v . (DataLoc ((t . GBP),6))) by A17, A22;
then (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,(Initialize (Initialize v)))) . (intpos 4) >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,(Initialize (Initialize v)))) . (intpos 6)) by A12, A13, A18, Lm7, A19, A20, A21;
hence for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,v)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),V,v)) . (DataLoc ((t . GBP),6))) by A13, A16, TARSKI:def 1; :: thesis:

end;

set It = IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t);
set IT = Q;
A24: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 1) = (Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))) . (intpos 1) by SCMPDS_5:15;
A25: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 6) = (Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))) . (intpos 6) by SCMPDS_5:15;
A26: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 4) = (Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))) . (intpos 4) by SCMPDS_5:15;
A27: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . GBP = (Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))) . GBP by SCMPDS_5:15;
A28: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 2) = (Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))) . (intpos 2) by SCMPDS_5:15;
A29: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 3) = (Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))) . (intpos 3) by SCMPDS_5:15;
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 6) < t . (intpos 6) by A11, A12, A13, A14, Lm7;
then ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 6)) + 1 <= t . (intpos 6) by INT_1:7;
then ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 6)) + 1 <= k + 1 by A10, XXREAL_0:2;
then A30: (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 6) <= k by XREAL_1:6;
A31: ( (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . GBP = 0 & (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 4) >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 6)) ) by A11, A12, A13, A14, Lm6, Lm7;
then A32: (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))))) . (intpos 1) = (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 1) by A9, A30, A24, A25, A26, A27;
A33: (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))))) . (intpos 3) = (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 3) by A9, A31, A30, A25, A26, A27, A29;
A34: (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))))) . (intpos 2) = (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 2) by A9, A31, A30, A25, A26, A27, A28;
A35: for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
t . x >= 7 + (t . (DataLoc ((t . GBP),6))) by A11, A13, TARSKI:def 1;
(IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(Initialize (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t))))) . GBP = 0 by A9, A31, A30, A25, A26, A27;
hence (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . GBP = 0 by A14, A35, A15, SCMPDS_8:29; :: thesis:
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 1) = t . (intpos 1) by A11, A12, A13, A14, Lm6;
hence (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 1) = t . (intpos 1) by A14, A35, A15, A32, SCMPDS_8:29; :: thesis:
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 2) = t . (intpos 2) by A11, A12, A13, A14, Lm7;
hence (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 2) = t . (intpos 2) by A14, A35, A15, A34, SCMPDS_8:29; :: thesis:
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),Q,t)) . (intpos 3) = t . (intpos 3) by A11, A12, A13, A14, Lm7;
hence (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,t)) . (intpos 3) = t . (intpos 3) by A14, A35, A15, A33, SCMPDS_8:29; :: thesis:

end;

per cases ;

suppose s . (intpos 6) <= 0 ; :: thesis:

hence ( (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . GBP = 0 & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . (intpos 1) = s . (intpos 1) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . (intpos 2) = s . (intpos 2) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . (intpos 3) = s . (intpos 3) ) by A2, A3, SCMPDS_8:23; :: thesis:

end;

suppose s . (intpos 6) > 0 ; :: thesis:

then reconsider m = s . (intpos 6) as Element of NAT by INT_1:3;
for k being Nat holds S₁[k] from NAT_1:sch 2(A4, A8);
then S₁[m] ;
hence ( (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . GBP = 0 & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . (intpos 1) = s . (intpos 1) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . (intpos 2) = s . (intpos 2) & (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),P,s)) . (intpos 3) = s . (intpos 3) ) by A1, A2, A3; :: thesis:

end;