let p be Instruction-Sequence of SCM+FSA; :: thesis:
let s be State of SCM+FSA; :: thesis:
assume A1: s . (intloc (0 + 1)) = len (s . (fsloc 0)) ; :: thesis:

per cases ;

suppose A2: len (s . (fsloc 0)) = 0 ; :: thesis:

hence s . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),p,s)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A1, Lm23, SCM_HALT:67; :: thesis:
thus for i, j being Nat st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0)) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),p,s)) . (fsloc 0)) . i & x2 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),p,s)) . (fsloc 0)) . j holds
x1 >= x2 by A2; :: thesis:

end;

suppose A3: len (s . (fsloc 0)) <> 0 ; :: thesis:

defpred S₁[ Nat] means for t being State of SCM+FSA
for q being Instruction-Sequence of SCM+FSA st t . (intloc (0 + 1)) = $1 + 1 & t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) holds
( t . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Nat st i >= (len (t . (fsloc 0))) - $1 & j <= len (t . (fsloc 0)) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i & x2 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Nat st i < (len (t . (fsloc 0))) - $1 & i >= 1 holds
((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . i ) & ( for i being Nat st i >= (len (t . (fsloc 0))) - $1 & i <= len (t . (fsloc 0)) holds
ex n being Nat st
( n >= (len (t . (fsloc 0))) - $1 & n <= len (t . (fsloc 0)) & ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . n ) ) );
set B11 = SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0));
A4: S₁[ 0 ]

proof

let t be State of SCM+FSA; :: thesis:
let q be Instruction-Sequence of SCM+FSA; :: thesis:
assume that
A5: t . (intloc (0 + 1)) = 0 + 1 and
t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis:
set IB = IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t);
A6: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (0 + 1)) = 1 - 1 by A5, Lm23, Lm25, SCM_HALT:66;
A7: (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (1 + 1)) = 1 - 1 by A5, Lm32;
A8: (IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0) = (IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0) by A5, Lm23, Lm25, SCM_HALT:69
.= (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0) by A6, Lm23, SCM_HALT:67
.= (Exec ((SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)))) . (fsloc 0) by Lm23, SCM_HALT:24
.= (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)) . (fsloc 0) by SCMFSA_2:65
.= (IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0) by Lm23, SCM_HALT:21
.= (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (fsloc 0) by A7, SCM_HALT:67
.= t . (fsloc 0) by Lm32 ;
hence t . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent ; :: thesis:
thus for i, j being Nat st i >= (len (t . (fsloc 0))) - 0 & j <= len (t . (fsloc 0)) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i & x2 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . j holds
x1 >= x2 by XXREAL_0:2; :: thesis:
thus for i being Nat st i < (len (t . (fsloc 0))) - 0 & i >= 1 holds
((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . i by A8; :: thesis:
let i be Nat; :: thesis:
assume that
A9: i >= (len (t . (fsloc 0))) - 0 and
A10: i <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis:
take n = i; :: thesis:
thus ( n >= (len (t . (fsloc 0))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0)) ) by A9, A10; :: thesis:
thus ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . n by A8; :: thesis:

end;

A11: now :: thesis:

let k be Nat; :: thesis:
assume A12: S₁[k] ; :: thesis:

now :: thesis:

let t be State of SCM+FSA; :: thesis:
let q be Instruction-Sequence of SCM+FSA; :: thesis:
set t1 = IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t);
set IB = IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t);
set t2 = IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)));
assume that
A13: t . (intloc (0 + 1)) = (k + 1) + 1 and
A14: t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis:
A15: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (0 + 1)) = (Exec ((SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)))) . (intloc (0 + 1)) by Lm23, SCM_HALT:23
.= ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)) . (intloc (0 + 1))) - ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)) . (intloc 0)) by SCMFSA_2:65
.= ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)) . (intloc (0 + 1))) - 1 by Lm23, SCM_HALT:9
.= ((Initialized t) . (intloc (0 + 1))) - 1 by Lm23, Lm25, SCM_HALT:53
.= ((k + 1) + 1) - 1 by A13, SCMFSA_M:37
.= k + 1 ;
then (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (0 + 1)) < t . (intloc (0 + 1)) by A13, XREAL_1:29;
then A16: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) by A14, XXREAL_0:2;
set Ts = IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t);
A17: (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (1 + 1)) = ((k + 1) + 1) - 1 by A13, Lm32
.= k + 1 ;
A18: (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) = len (t . (fsloc 0)) by Lm32;
then A19: (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) = len ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (fsloc 0)) by Lm32;
A20: k + 1 < (k + 1) + 1 by XREAL_1:29;
A21: k + 1 < t . (intloc (0 + 1)) by A13, XREAL_1:29;
A22: k + 1 < len (t . (fsloc 0)) by A13, A14, A20, XXREAL_0:2;
A23: k + 1 < (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) by A14, A18, A21, XXREAL_0:2;
A24: (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A17, A18, A19, A22, Lm31;
A25: (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (fsloc 0) = t . (fsloc 0) by Lm32;
A26: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0) = (Exec ((SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)))) . (fsloc 0) by Lm23, SCM_HALT:24
.= (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))),q,t)) . (fsloc 0) by SCMFSA_2:65
.= (IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0) by Lm23, SCM_HALT:21 ;
then A27: t . (fsloc 0),(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A17, A18, A23, A25, Lm31;
A28: len (t . (fsloc 0)) = len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) by A24, A25, A26, RFINSEQ:3;
A29: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (0 + 1)) <= len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) by A16, A27, RFINSEQ:3;
A30: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A12, A15, A16, A28;
A31: (IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0) = (IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0) by A13, Lm23, Lm25, SCM_HALT:69;
hence t . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A27, A30, CLASSES1:76; :: thesis:
set lk = (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1);
A32: ((len (t . (fsloc 0))) - (k + 1)) + 1 = (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A28;
thus for i, j being Nat st i >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) & j <= len (t . (fsloc 0)) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i & x2 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . j holds
x1 >= x2 :: thesis:

proof

let i, j be Nat; :: thesis:
assume that
A33: i >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) and
A34: j <= len (t . (fsloc 0)) and
A35: i < j ; :: thesis:
j > (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) by A33, A35, XXREAL_0:2;
then j >= (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A32, INT_1:7;
then consider n being Nat such that
A36: n >= (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k and
A37: n <= len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) and
A38: ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0)) . j = ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) . n by A12, A15, A16, A28, A34;
(len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) < ((len (t . (fsloc 0))) - (k + 1)) + 1 by XREAL_1:29;
then A39: n >= ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A18, A28, A36, XXREAL_0:2;
A40: n <= (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) by A28, A37, Lm32;

hereby :: thesis:

let x1, x2 be Integer; :: thesis:
assume that
A41: x1 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i and
A42: x2 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . j ; :: thesis:

per cases ;

suppose A43: i = (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) ; :: thesis:

A44: ex y1, y2 being Integer st
( y1 = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0)) . (((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1)) & y2 = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0)) . n & y1 >= y2 ) by A17, A19, A23, A39, A40, Lm31;
A45: i < (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A32, A43, XREAL_1:29;
A46: 1 <= i by A13, A14, A43, XREAL_1:19;
i = ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A43, Lm32;
hence x1 >= x2 by A12, A15, A16, A26, A28, A31, A38, A41, A42, A44, A45, A46; :: thesis:

end;

suppose i <> (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) ; :: thesis:

then i > (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) by A33, XXREAL_0:1;
then i >= (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A32, INT_1:7;
hence x1 >= x2 by A12, A15, A16, A28, A31, A34, A35, A41, A42; :: thesis:

end;

thus for i being Nat st i < (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) & i >= 1 holds
((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . i :: thesis:

proof

let i be Nat; :: thesis:
assume that
A47: i < (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) and
A48: i >= 1 ; :: thesis:
(len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) < ((len (t . (fsloc 0))) - (k + 1)) + 1 by XREAL_1:29;
then i < (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A28, A47, XXREAL_0:2;
hence ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) . i by A12, A15, A29, A31, A48
.= (t . (fsloc 0)) . i by A17, A18, A23, A25, A26, A47, A48, Lm31 ;
:: thesis:

end;

thus for i being Nat st i >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0)) holds
ex n being Nat st
( n >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0)) & ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . n ) :: thesis:

proof

let i be Nat; :: thesis:
assume that
A49: i >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) and
A50: i <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis:

per cases ;

suppose A51: i = (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) ; :: thesis:

then A52: i < (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A32, XREAL_1:29;
A53: i >= 1 by A13, A14, A51, XREAL_1:19;
consider n being Nat such that
A54: n >= ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) and
A55: n <= (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) and
A56: ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0)) . i = ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (fsloc 0)) . n by A17, A18, A19, A22, A49, A50, Lm31;
take n ; :: thesis:
thus n >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) by A54, Lm32; :: thesis:
thus n <= len (t . (fsloc 0)) by A55, Lm32; :: thesis:
thus ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . n by A12, A15, A25, A26, A29, A31, A52, A53, A56; :: thesis:

end;

suppose i <> (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) ; :: thesis:

then i > (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) by A49, XXREAL_0:1;
then i >= (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k by A32, INT_1:7;
then consider m being Nat such that
A57: m >= (len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0))) - k and
A58: m <= len ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) and
A59: ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0)) . i = ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))) ";" (SubFrom ((intloc (0 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) . m by A12, A15, A16, A28, A50;
((len (t . (fsloc 0))) - (k + 1)) + 1 > (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) by XREAL_1:29;
then m > ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A18, A28, A57, XXREAL_0:2;
then consider n being Nat such that
A60: n >= ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) and
A61: n <= (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) and
A62: ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)))) . (fsloc 0)) . m = ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))),q,t)) . (fsloc 0)) . n by A17, A18, A19, A22, A28, A58, Lm31;
take n ; :: thesis:
thus n >= (len (t . (fsloc 0))) - (k + 1) by A60, Lm32; :: thesis:
thus n <= len (t . (fsloc 0)) by A61, Lm32; :: thesis:
thus ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),q,t)) . (fsloc 0)) . i = (t . (fsloc 0)) . n by A26, A31, A59, A62, Lm32; :: thesis:

end;

hence S₁[k + 1] ; :: thesis:

end;

A63: for k being Nat holds S₁[k] from NAT_1:sch 2(A4, A11);
s . (intloc (0 + 1)) >= 1 + 0 by A1, A3, INT_1:7;
then reconsider m = (s . (intloc (0 + 1))) - 1 as Element of NAT by INT_1:5;
A64: m + 1 = s . (intloc (0 + 1)) ;
hence s . (fsloc 0),(IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),p,s)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A1, A63; :: thesis:
(len (s . (fsloc 0))) - m = 1 by A1;
hence for i, j being Nat st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0)) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),p,s)) . (fsloc 0)) . i & x2 = ((IExec ((Times ((intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0))) ";" (Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA))))))))),p,s)) . (fsloc 0)) . j holds
x1 >= x2 by A63, A64; :: thesis:

end;