let p be Instruction-Sequence of SCM+FSA; :: thesis: for s being State of SCM+FSA st s . (intloc (1 + 1)) >= 0 & s . (intloc (1 + 1)) < s . (intloc (2 + 1)) & s . (intloc (2 + 1)) <= len (s . (fsloc 0)) holds
ex k being Nat st
( k <= s . (intloc (2 + 1)) & k >= (s . (intloc (2 + 1))) - (s . (intloc (1 + 1))) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),p,s)) . (fsloc 0)) . k = (s . (fsloc 0)) . (s . (intloc (2 + 1))) )
let s be State of SCM+FSA; :: thesis: ( s . (intloc (1 + 1)) >= 0 & s . (intloc (1 + 1)) < s . (intloc (2 + 1)) & s . (intloc (2 + 1)) <= len (s . (fsloc 0)) implies ex k being Nat st
( k <= s . (intloc (2 + 1)) & k >= (s . (intloc (2 + 1))) - (s . (intloc (1 + 1))) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),p,s)) . (fsloc 0)) . k = (s . (fsloc 0)) . (s . (intloc (2 + 1))) ) )
assume that
A1: s . (intloc (1 + 1)) >= 0 and
A2: s . (intloc (1 + 1)) < s . (intloc (2 + 1)) and
A3: s . (intloc (2 + 1)) <= len (s . (fsloc 0)) ; :: thesis: ex k being Nat st
( k <= s . (intloc (2 + 1)) & k >= (s . (intloc (2 + 1))) - (s . (intloc (1 + 1))) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),p,s)) . (fsloc 0)) . k = (s . (fsloc 0)) . (s . (intloc (2 + 1))) )
defpred S₁[ Nat] means for t being State of SCM+FSA
for q being Instruction-Sequence of SCM+FSA st t . (intloc (1 + 1)) = $1 & t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) & t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) holds
( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - $1 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) );
A4: S₁[ 0 ]

proof

let t be State of SCM+FSA; :: thesis: for q being Instruction-Sequence of SCM+FSA st t . (intloc (1 + 1)) = 0 & t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) & t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) holds
( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) )
let q be Instruction-Sequence of SCM+FSA; :: thesis: ( t . (intloc (1 + 1)) = 0 & t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) & t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) implies ( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) ) )
assume that
A5: t . (intloc (1 + 1)) = 0 and
A6: t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) and
t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis: ( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) )
set If0 = (IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0);
thus for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m by A5, SCM_HALT:67; :: thesis: ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
reconsider n = t . (intloc (2 + 1)) as Element of NAT by A5, A6, INT_1:3;
take n ; :: thesis: ( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
thus n <= t . (intloc (2 + 1)) ; :: thesis: ( n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
thus n >= (t . (intloc (2 + 1))) - 0 ; :: thesis: ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1)))
thus ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) by A5, SCM_HALT:67; :: thesis: verum

end;

set sb2 = SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0));

A7: now :: thesis: for k being Nat st S₁[k] holds
S₁[k + 1]

let k be Nat; :: thesis: ( S₁[k] implies S₁[k + 1] )
assume A8: S₁[k] ; :: thesis: S₁[k + 1]

now :: thesis: for t being State of SCM+FSA
for q being Instruction-Sequence of SCM+FSA st t . (intloc (1 + 1)) = k + 1 & t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) & t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) holds
( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) )

let t be State of SCM+FSA; :: thesis: for q being Instruction-Sequence of SCM+FSA st t . (intloc (1 + 1)) = k + 1 & t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) & t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) holds
( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) )
let q be Instruction-Sequence of SCM+FSA; :: thesis: ( t . (intloc (1 + 1)) = k + 1 & t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) & t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) implies ( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) ) )
assume that
A9: t . (intloc (1 + 1)) = k + 1 and
A10: t . (intloc (1 + 1)) < t . (intloc (2 + 1)) and
A11: t . (intloc (2 + 1)) <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis: ( ( for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m ) & ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ) )
set t1 = IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t);
set IB = IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t);
set t2 = IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)));
A12: (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (1 + 1)) = (Exec ((SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)))) . (intloc (1 + 1)) by SCM_HALT:23
.= ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (intloc (1 + 1))) - ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (intloc 0)) by SCMFSA_2:65
.= ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (intloc (1 + 1))) - 1 by SCM_HALT:9
.= ((Initialized t) . (intloc (1 + 1))) - 1 by Lm22, SCM_HALT:53
.= (t . (intloc (1 + 1))) - 1 by SCMFSA_M:37 ;
A13: 2 <= k + 2 by NAT_1:11;
(k + 1) + 1 <= t . (intloc (2 + 1)) by A9, A10, INT_1:7;
then A14: 2 <= t . (intloc (2 + 1)) by A13, XXREAL_0:2;
A15: (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) = (Exec ((SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)))) . (intloc (2 + 1)) by SCM_HALT:23
.= (IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) by Lm10, SCMFSA_2:65
.= (t . (intloc (2 + 1))) - 1 by A11, A14, Lm29 ;
A16: (t . (intloc (1 + 1))) - 1 < (t . (intloc (2 + 1))) - 1 by A10, XREAL_1:9;
A17: (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (1 + 1)) < (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) by A10, A12, A15, XREAL_1:9;
A18: (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0) = (Exec ((SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)))) . (fsloc 0) by SCM_HALT:24
.= (IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0) by SCMFSA_2:65 ;
A19: t . (fsloc 0),(IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0) are_fiberwise_equipotent by A11, A14, Lm29;
then A20: len (t . (fsloc 0)) = len ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) by A18, RFINSEQ:3;
then A21: (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) <= len ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) by A11, A15, XREAL_1:146, XXREAL_0:2;
A22: (IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0) = (IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0) by A9, Lm22, SCM_HALT:69;
A23: (IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0) = (Exec ((SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0))),(IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)))) . (fsloc 0) by SCMFSA_2:65
.= (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0) by SCM_HALT:24 ;
thus for m being Nat st m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) holds
(t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m :: thesis: ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )

proof

let m be Nat; :: thesis: ( m > t . (intloc (2 + 1)) & m <= len (t . (fsloc 0)) implies (t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m )
assume that
A24: m > t . (intloc (2 + 1)) and
A25: m <= len (t . (fsloc 0)) ; :: thesis: (t . (fsloc 0)) . m = ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m
A26: t . (intloc (2 + 1)) > (t . (intloc (2 + 1))) - 1 by XREAL_1:146;
A27: m > (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) by A15, A24, XREAL_1:146, XXREAL_0:2;
A28: m <= len ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) by A18, A19, A25, RFINSEQ:3;
m >= 2 by A14, A24, XXREAL_0:2;
then m >= 1 by XXREAL_0:2;
then m in dom (t . (fsloc 0)) by A25, FINSEQ_3:25;
hence (t . (fsloc 0)) . m = ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) . m by A11, A14, A23, A24, A26, Lm29
.= ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m by A8, A9, A12, A17, A21, A22, A27, A28 ;
:: thesis: verum

end;

hereby :: thesis: verum

reconsider n = t . (intloc (2 + 1)) as Element of NAT by A9, A10, INT_1:3;
reconsider n = n as Nat ;

per cases ( (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) = ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) or (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) = ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0)) . ((t . (intloc (2 + 1))) - 1) ) by A11, A14, Lm29;

suppose A29: (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) = ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) ; :: thesis: ex n being Nat st
( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )

take n = n; :: thesis: ( n <= t . (intloc (2 + 1)) & n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
thus n <= t . (intloc (2 + 1)) ; :: thesis: ( n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
n <= n + (k + 1) by NAT_1:11;
hence n >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by XREAL_1:20; :: thesis: ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1)))
thus ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . n = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) by A8, A9, A11, A12, A15, A16, A20, A21, A22, A23, A29, XREAL_1:146; :: thesis: verum

end;

suppose A30: (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) = ((IExec ((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))),q,t)) . (fsloc 0)) . ((t . (intloc (2 + 1))) - 1) ; :: thesis: ex m being Nat st
( m <= t . (intloc (2 + 1)) & m >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )

consider m being Nat such that
A31: m <= (IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1)) and
A32: m >= ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) - k and
A33: ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,(IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)))) . (fsloc 0)) . m = ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (fsloc 0)) . ((IExec (((((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))) ";" (SubFrom ((intloc (1 + 1)),(intloc 0)))),q,t)) . (intloc (2 + 1))) by A8, A9, A12, A17, A21;
take m = m; :: thesis: ( m <= t . (intloc (2 + 1)) & m >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
thus m <= t . (intloc (2 + 1)) by A15, A31, XREAL_1:146, XXREAL_0:2; :: thesis: ( m >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) )
thus m >= (t . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A15, A32; :: thesis: ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1)))
thus ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),q,t)) . (fsloc 0)) . m = (t . (fsloc 0)) . (t . (intloc (2 + 1))) by A9, A15, A23, A30, A33, Lm22, SCM_HALT:69; :: thesis: verum

end;

end;

end;

end;

hence S₁[k + 1] ; :: thesis: verum

end;

A34: for k being Nat holds S₁[k] from NAT_1:sch 2(A4, A7);
reconsider i = s . (intloc (1 + 1)) as Element of NAT by A1, INT_1:3;
S₁[i] by A34;
hence ex k being Nat st
( k <= s . (intloc (2 + 1)) & k >= (s . (intloc (2 + 1))) - (s . (intloc (1 + 1))) & ((IExec ((Times ((intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ";" (SubFrom ((intloc (2 + 1)),(intloc 0)))) ";" ((intloc (4 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (2 + 1))))) ";" ((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1))))) ";" (SubFrom ((intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1))))) ";" (if>0 ((intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := ((fsloc 0),(intloc (3 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (2 + 1))) := (intloc (5 + 1)))) ";" (((fsloc 0),(intloc (3 + 1))) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA)))))),p,s)) . (fsloc 0)) . k = (s . (fsloc 0)) . (s . (intloc (2 + 1))) ) by A2, A3; :: thesis: verum