let z1, z2 be Quaternion; :: thesis: ( Rea z1 = 0 & Rea z2 = 0 implies ( Rea (z1 * z2) = ((- ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2)) & Im1 (z1 * z2) = ((Im2 z1) * (Im3 z2)) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)) & Im2 (z1 * z2) = ((Im3 z1) * (Im1 z2)) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)) & Im3 (z1 * z2) = ((Im1 z1) * (Im2 z2)) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)) ) )
assume A1: ( Rea z1 = 0 & Rea z2 = 0 ) ; :: thesis: ( Rea (z1 * z2) = ((- ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2)) & Im1 (z1 * z2) = ((Im2 z1) * (Im3 z2)) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)) & Im2 (z1 * z2) = ((Im3 z1) * (Im1 z2)) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)) & Im3 (z1 * z2) = ((Im1 z1) * (Im2 z2)) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)) )
( Rea (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2)) & Im1 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)) & Im2 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)) & Im3 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)) ) by Lm17;
hence ( Rea (z1 * z2) = ((- ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2)) & Im1 (z1 * z2) = ((Im2 z1) * (Im3 z2)) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)) & Im2 (z1 * z2) = ((Im3 z1) * (Im1 z2)) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)) & Im3 (z1 * z2) = ((Im1 z1) * (Im2 z2)) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)) ) by A1; :: thesis: verum