let z1, z2 be Quaternion; z1 * z2 = (((((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))) + ((((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2))) * <i>)) + ((((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2))) * <j>)) + ((((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2))) * <k>)
z1 * z2 = [*(((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))),(((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2))),(((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2))),(((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)))*]
by Lm16;
hence
z1 * z2 = (((((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))) + ((((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2))) * <i>)) + ((((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2))) * <j>)) + ((((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2))) * <k>)
by Lm19; verum