let z1, z2, z3, z4 be Quaternion; ((z1 + z2) + z3) + z4 = [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*]
set z = [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*];
reconsider z9 = ((z1 + z2) + z3) + z4 as Quaternion ;
A1: Rea [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*] =
(((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)
by Th16
.=
Rea z9
by Lm11
;
A2: Im1 [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*] =
(((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)
by Th16
.=
Im1 z9
by Lm11
;
A3: Im2 [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*] =
(((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)
by Th16
.=
Im2 z9
by Lm11
;
Im3 [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*] =
(((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4)
by Th16
.=
Im3 z9
by Lm11
;
hence
((z1 + z2) + z3) + z4 = [*((((Rea z1) + (Rea z2)) + (Rea z3)) + (Rea z4)),((((Im1 z1) + (Im1 z2)) + (Im1 z3)) + (Im1 z4)),((((Im2 z1) + (Im2 z2)) + (Im2 z3)) + (Im2 z4)),((((Im3 z1) + (Im3 z2)) + (Im3 z3)) + (Im3 z4))*]
by A1, A2, A3, Th18; verum