let z3, z be Quaternion; :: thesis: ( z is Real implies z - z3 = [*((Rea z) - (Rea z3)),(- (Im1 z3)),(- (Im2 z3)),(- (Im3 z3))*] )
reconsider z1 = z + (- z3) as Quaternion ;
assume A1: z is Real ; :: thesis: z - z3 = [*((Rea z) - (Rea z3)),(- (Im1 z3)),(- (Im2 z3)),(- (Im3 z3))*]
then A2: Im3 z = 0 by Lm1;
set z2 = [*((Rea z) - (Rea z3)),((Im1 z) - (Im1 z3)),((Im2 z) - (Im2 z3)),((Im3 z) - (Im3 z3))*];
A3: Rea [*((Rea z) - (Rea z3)),((Im1 z) - (Im1 z3)),((Im2 z) - (Im2 z3)),((Im3 z) - (Im3 z3))*] = (Rea z) + (- (Rea z3)) by QUATERNI:23
.= (Rea z) + (Rea (- z3)) by QUATERNI:41
.= Rea z1 by QUATERNI:36 ;
A4: Im1 [*((Rea z) - (Rea z3)),((Im1 z) - (Im1 z3)),((Im2 z) - (Im2 z3)),((Im3 z) - (Im3 z3))*] = (Im1 z) + (- (Im1 z3)) by QUATERNI:23
.= (Im1 z) + (Im1 (- z3)) by QUATERNI:41
.= Im1 z1 by QUATERNI:36 ;
A5: Im3 [*((Rea z) - (Rea z3)),((Im1 z) - (Im1 z3)),((Im2 z) - (Im2 z3)),((Im3 z) - (Im3 z3))*] = (Im3 z) + (- (Im3 z3)) by QUATERNI:23
.= (Im3 z) + (Im3 (- z3)) by QUATERNI:41
.= Im3 z1 by QUATERNI:36 ;
A6: Im2 [*((Rea z) - (Rea z3)),((Im1 z) - (Im1 z3)),((Im2 z) - (Im2 z3)),((Im3 z) - (Im3 z3))*] = (Im2 z) + (- (Im2 z3)) by QUATERNI:23
.= (Im2 z) + (Im2 (- z3)) by QUATERNI:41
.= Im2 z1 by QUATERNI:36 ;
( Im1 z = 0 & Im2 z = 0 ) by A1, Lm1;
hence z - z3 = [*((Rea z) - (Rea z3)),(- (Im1 z3)),(- (Im2 z3)),(- (Im3 z3))*] by A2, A3, A4, A6, A5, QUATERNI:25; :: thesis: verum