let z1 be Quaternion; (<j> * z1) + (z1 * <j>) = [*(- (2 * (Im2 z1))),0,(2 * (Rea z1)),0*]
set z = <j> ;
A1: <j> * z1 =
(((((((Rea <j>) * (Rea z1)) - ((Im1 <j>) * (Im1 z1))) - ((Im2 <j>) * (Im2 z1))) - ((Im3 <j>) * (Im3 z1))) + ((((((Rea <j>) * (Im1 z1)) + ((Im1 <j>) * (Rea z1))) + ((Im2 <j>) * (Im3 z1))) - ((Im3 <j>) * (Im2 z1))) * <i>)) + ((((((Rea <j>) * (Im2 z1)) + ((Im2 <j>) * (Rea z1))) + ((Im3 <j>) * (Im1 z1))) - ((Im1 <j>) * (Im3 z1))) * <j>)) + ((((((Rea <j>) * (Im3 z1)) + ((Im3 <j>) * (Rea z1))) + ((Im1 <j>) * (Im2 z1))) - ((Im2 <j>) * (Im1 z1))) * <k>)
by QUATERNI:93
.=
[*(- (Im2 z1)),(Im3 z1),(Rea z1),(- (Im1 z1))*]
by QUATERN2:1, QUATERNI:31
;
then A2:
( Im2 (<j> * z1) = Rea z1 & Im3 (<j> * z1) = - (Im1 z1) )
by QUATERNI:23;
A3: z1 * <j> =
(((((((Rea z1) * (Rea <j>)) - ((Im1 z1) * (Im1 <j>))) - ((Im2 z1) * (Im2 <j>))) - ((Im3 z1) * (Im3 <j>))) + ((((((Rea z1) * (Im1 <j>)) + ((Im1 z1) * (Rea <j>))) + ((Im2 z1) * (Im3 <j>))) - ((Im3 z1) * (Im2 <j>))) * <i>)) + ((((((Rea z1) * (Im2 <j>)) + ((Im2 z1) * (Rea <j>))) + ((Im3 z1) * (Im1 <j>))) - ((Im1 z1) * (Im3 <j>))) * <j>)) + ((((((Rea z1) * (Im3 <j>)) + ((Im3 z1) * (Rea <j>))) + ((Im1 z1) * (Im2 <j>))) - ((Im2 z1) * (Im1 <j>))) * <k>)
by QUATERNI:93
.=
[*(- (Im2 z1)),(- (Im3 z1)),(Rea z1),(Im1 z1)*]
by QUATERN2:1, QUATERNI:31
;
then A4:
( Rea (z1 * <j>) = - (Im2 z1) & Im1 (z1 * <j>) = - (Im3 z1) )
by QUATERNI:23;
A5:
( Im2 (z1 * <j>) = Rea z1 & Im3 (z1 * <j>) = Im1 z1 )
by A3, QUATERNI:23;
( Rea (<j> * z1) = - (Im2 z1) & Im1 (<j> * z1) = Im3 z1 )
by A1, QUATERNI:23;
then
(z1 * <j>) + (<j> * z1) = ((((- (Im2 z1)) + (- (Im2 z1))) + (((Im3 z1) - (Im3 z1)) * <i>)) + (((Rea z1) + (Rea z1)) * <j>)) + (((- (Im1 z1)) + (Im1 z1)) * <k>)
by A2, A4, A5, QUATERNI:92;
hence
(<j> * z1) + (z1 * <j>) = [*(- (2 * (Im2 z1))),0,(2 * (Rea z1)),0*]
by QUATERN2:1; verum