let a0, a1, a2 be Complex; :: thesis: (((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (2_root_of_cubic (a0,a1,a2))) + ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2))) = a1

per cases ( (3 * a1) - (a2 |^ 2) = 0 or (3 * a1) - (a2 |^ 2) <> 0 ) ;

suppose A1: (3 * a1) - (a2 |^ 2) = 0 ; :: thesis: (((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (2_root_of_cubic (a0,a1,a2))) + ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2))) = a1

set r = ((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54;
set s1 = 3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54));
A2: ( ex r, s1 being Complex st
( r = ((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54 & s1 = 3 -root (2 * r) & 2_root_of_cubic (a0,a1,a2) = ((- (s1 / 2)) - (a2 / 3)) + (((s1 * (2 -root 3)) * <i>) / 2) ) & ex r, s1 being Complex st
( r = ((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54 & s1 = 3 -root (2 * r) & 3_root_of_cubic (a0,a1,a2) = ((- (s1 / 2)) - (a2 / 3)) - (((s1 * (2 -root 3)) * <i>) / 2) ) ) by A1, Def3, Def4;
thus (((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (2_root_of_cubic (a0,a1,a2))) + ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2))) = ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) + (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))
.= (((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) - (a2 / 3)) * ((((- ((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) / 2)) - (a2 / 3)) + ((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2)) + (((- ((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) / 2)) - (a2 / 3)) - ((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2)))) + ((((- ((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) / 2)) - (a2 / 3)) + ((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2)) * (((- ((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) / 2)) - (a2 / 3)) - ((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2))) by A1, A2, Def2
.= ((((- (((3 * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) / 4)) - ((a2 * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) / 3)) + (((3 * a2) * a2) / 9)) + ((a2 * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) / 3)) - ((((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) * ((2 -root 3) * (2 -root 3))) * (- 1)) / 2) / 2)
.= ((- (((3 * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) / 4)) + ((a2 * a2) / 3)) - ((((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) * ((2 -root 3) |^ 2)) * (- 1)) / 2) / 2) by Th1
.= ((- (((3 * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) / 4)) + ((a2 * a2) / 3)) - ((((((3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54))) * (3 -root (2 * (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54)))) * 3) * (- 1)) / 2) / 2) by Th7
.= (a2 |^ 2) / 3 by Th1
.= a1 by A1 ; :: thesis: verum

end;

suppose A3: (3 * a1) - (a2 |^ 2) <> 0 ; :: thesis: (((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (2_root_of_cubic (a0,a1,a2))) + ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2))) = a1

set q = ((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9;
set r = ((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54;
set s = 2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2));
set s1 = 3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))));
set s2 = - ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))));
A4: 3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))) <> 0

proof

assume 3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))) = 0 ; :: thesis: contradiction
then A5: 0 = (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) |^ 3 by NEWTON:11
.= (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))) by Th7 ;
((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2) = (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))) |^ 2 by Th7
.= (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))) * (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))) by Th1
.= (- (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))) * (- (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))
.= (((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2 by A5, Th1 ;
then ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) * (((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9)) * (((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) = 0 by Th2;
hence contradiction by A3; :: thesis: verum

end;

A6: ( ex q, r, s, s1, s2 being Complex st
( q = ((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9 & r = ((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54 & s = 2 -root ((q |^ 3) + (r |^ 2)) & s1 = 3 -root (r + s) & s2 = - (q / s1) & 2_root_of_cubic (a0,a1,a2) = ((- ((s1 + s2) / 2)) - (a2 / 3)) + ((((s1 - s2) * (2 -root 3)) * <i>) / 2) ) & ex q, r, s, s1, s2 being Complex st
( q = ((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9 & r = ((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54 & s = 2 -root ((q |^ 3) + (r |^ 2)) & s1 = 3 -root (r + s) & s2 = - (q / s1) & 3_root_of_cubic (a0,a1,a2) = ((- ((s1 + s2) / 2)) - (a2 / 3)) - ((((s1 - s2) * (2 -root 3)) * <i>) / 2) ) ) by A3, Def3, Def4;
set t = (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))));
set d = (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))));
thus (((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (2_root_of_cubic (a0,a1,a2))) + ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2))) = ((1_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) + (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))) + ((2_root_of_cubic (a0,a1,a2)) * (3_root_of_cubic (a0,a1,a2)))
.= ((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) - (a2 / 3)) * ((((- (((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) / 2)) - (a2 / 3)) + (((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2)) + (((- (((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) / 2)) - (a2 / 3)) - (((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2)))) + ((((- (((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) / 2)) - (a2 / 3)) + (((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2)) * (((- (((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) / 2)) - (a2 / 3)) - (((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * (2 -root 3)) * <i>) / 2))) by A3, A6, Def2
.= ((((- (((3 * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) / 4)) - ((a2 * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) / 3)) + (((3 * a2) * a2) / 9)) + ((a2 * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) / 3)) - ((((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) * ((2 -root 3) * (2 -root 3))) * (- 1)) / 4)
.= ((- (((3 * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) / 4)) + ((a2 * a2) / 3)) - ((((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) * ((2 -root 3) |^ 2)) * (- 1)) / 4) by Th1
.= ((- (((3 * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) + (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) / 4)) + ((a2 * a2) / 3)) - ((((((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))))) * ((3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))) - (- ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))))) * 3) * (- 1)) / 4) by Th7
.= ((3 * (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2)))))) * ((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) / (3 -root ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) + (2 -root (((((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9) |^ 3) + ((((((9 * a2) * a1) - (2 * (a2 |^ 3))) - (27 * a0)) / 54) |^ 2))))))) + ((a2 * a2) / 3)
.= (3 * (((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9)) + ((a2 * a2) / 3) by A4, XCMPLX_1:90
.= (3 * (((3 * a1) - (a2 |^ 2)) / 9)) + ((a2 |^ 2) / 3) by Th1
.= a1 ; :: thesis: verum

end;

end;