let P be set ; :: thesis: for m1, m2, m3, m4 being marking of P st m1 c= m2 & m3 c= m4 holds
m1 + m3 c= m2 + m4
let m1, m2, m3, m4 be marking of P; :: thesis: ( m1 c= m2 & m3 c= m4 implies m1 + m3 c= m2 + m4 )
assume A1: m1 c= m2 ; :: thesis: ( not m3 c= m4 or m1 + m3 c= m2 + m4 )
assume A2: m3 c= m4 ; :: thesis: m1 + m3 c= m2 + m4
let p be set ; :: according to PNPROC_1:def 3 :: thesis: ( p in P implies p multitude_of <= p multitude_of )
assume A3: p in P ; :: thesis: p multitude_of <= p multitude_of
then A4: m1 . p <= m2 . p by A1;
m3 . p <= m4 . p by A2, A3;
then A5: (m1 . p) + (m3 . p) <= (m2 . p) + (m4 . p) by A4, XREAL_1:7;
(m1 + m3) . p = (m1 . p) + (m3 . p) by A3, Def4;
hence p multitude_of <= p multitude_of by A3, A5, Def4; :: thesis: verum