let K be Ring; :: thesis: for M1, M2 being Matrix of K st len M1 = len M2 & width M1 = width M2 & M1 + M2 = 0. (K,(len M1),(width M1)) holds
M2 = - M1
let M1, M2 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & width M1 = width M2 & M1 + M2 = 0. (K,(len M1),(width M1)) implies M2 = - M1 )
assume that
A1: ( len M1 = len M2 & width M1 = width M2 ) and
A2: M1 + M2 = 0. (K,(len M1),(width M1)) ; :: thesis: M2 = - M1
A3: ( len (- M2) = len M2 & width (- M2) = width M2 ) by MATRIX_3:def 2;
M1 - (- M2) = 0. (K,(len M1),(width M1)) by A2, Th1;
then M1 = - M2 by A1, A3, Th7;
hence M2 = - M1 by Th1; :: thesis: verum