let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
(M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies (M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2) )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: (M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2)
A5: ( len (- M1) = len M1 & width (- M1) = width M1 ) by MATRIX_3:def 2;
A6: ( len (- M2) = len M2 & width (- M2) = width M2 ) by MATRIX_3:def 2;
(M3 - M1) - (M3 - M2) = M2 - M1 by A1, A2, A3, A4, Th18
.= (- M1) + M2 by A1, A3, A5, MATRIX_3:2
.= (- M1) + (- (- M2)) by Th1
.= - (M1 + (- M2)) by A1, A3, A6, Th12 ;
hence (M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2) ; :: thesis: verum