let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M1 + M3 = M2 + M3 holds
M1 = M2
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & M1 + M3 = M2 + M3 implies M1 = M2 )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 and
A5: M1 + M3 = M2 + M3 ; :: thesis: M1 = M2
A6: M3 + (- M3) = 0. (K,(len M1),(width M1)) by A1, A2, A3, A4, Th2;
M1 + (M3 + (- M3)) = (M2 + M3) + (- M3) by A1, A2, A3, A4, A5, MATRIX_3:3;
then A7: M1 + (M3 + (- M3)) = M2 + (M3 + (- M3)) by A2, A4, MATRIX_3:3;

per cases ( len M1 > 0 or len M1 = 0 ) by NAT_1:3;

suppose A8: len M1 > 0 ; :: thesis: M1 = M2

then M2 is Matrix of len M1, width M1,K by A1, A3, MATRIX_0:20;
then A9: M2 + (0. (K,(len M1),(width M1))) = M2 by MATRIX_3:4;
M1 is Matrix of len M1, width M1,K by A8, MATRIX_0:20;
hence M1 = M2 by A7, A6, A9, MATRIX_3:4; :: thesis: verum

end;

suppose len M1 = 0 ; :: thesis: M1 = M2

hence M1 = M2 by A1, CARD_2:64; :: thesis: verum

end;

end;