let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2) )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2)
A5: ( len (- M3) = len M1 & width (- M3) = width M1 ) by A1, A2, A3, A4, MATRIX_3:def 2;
then M1 - (M2 - M3) = M1 + (- ((- M3) + M2)) by A1, A3, MATRIX_3:2
.= M1 + ((- (- M3)) + (- M2)) by A1, A3, A5, Th12
.= M1 + (M3 + (- M2)) by Th1 ;
hence M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2) ; :: thesis: verum