let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 - (M2 - M3) = (M1 - M2) + M3
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 - (M2 - M3) = (M1 - M2) + M3 )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: M1 - (M2 - M3) = (M1 - M2) + M3
( len (- M3) = len M1 & width (- M3) = width M1 ) by A1, A2, A3, A4, MATRIX_3:def 2;
then M1 - (M2 - M3) = (M1 - M2) - (- M3) by A1, A3, Th31
.= (M1 + (- M2)) + M3 by Th1 ;
hence M1 - (M2 - M3) = (M1 - M2) + M3 ; :: thesis: verum