let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 - (M2 + M3) = (M1 - M2) - M3
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 - (M2 + M3) = (M1 - M2) - M3 )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: M1 - (M2 + M3) = (M1 - M2) - M3
A5: ( len (- M2) = len M1 & width (- M2) = width M1 ) by A1, A3, MATRIX_3:def 2;
M1 - (M2 + M3) = M1 + ((- M2) + (- M3)) by A2, A4, Th12
.= (M1 - M2) + (- M3) by A5, MATRIX_3:3 ;
hence M1 - (M2 + M3) = (M1 - M2) - M3 ; :: thesis: verum