let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3, M4 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & len M3 = len M4 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & width M3 = width M4 & M1 - M3 = M4 - M2 holds
M1 + M2 = M3 + M4
let M1, M2, M3, M4 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & len M3 = len M4 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 & width M3 = width M4 & M1 - M3 = M4 - M2 implies M1 + M2 = M3 + M4 )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: len M3 = len M4 and
A4: width M1 = width M2 and
A5: width M2 = width M3 and
A6: width M3 = width M4 and
A7: M1 - M3 = M4 - M2 ; :: thesis: M1 + M2 = M3 + M4
A8: ( len (- M3) = len M1 & width (- M3) = width M1 ) by A1, A2, A4, A5, MATRIX_3:def 2;
A9: ( len (- M2) = len M1 & width (- M2) = width M1 ) by A1, A4, MATRIX_3:def 2;
then M1 + (- M3) = (- M2) + M4 by A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, MATRIX_3:2;
then M1 - (- M2) = M4 - (- M3) by A1, A2, A3, A4, A5, A6, A9, A8, Th28;
then M1 + M2 = M4 - (- M3) by Th1;
then M1 + M2 = M4 + M3 by Th1;
hence M1 + M2 = M3 + M4 by A3, A6, MATRIX_3:2; :: thesis: verum