let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
(M1 - M2) + M3 = (M3 - M2) + M1
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies (M1 - M2) + M3 = (M3 - M2) + M1 )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: (M1 - M2) + M3 = (M3 - M2) + M1
A5: ( len (- M2) = len M1 & width (- M2) = width M1 ) by A1, A3, MATRIX_3:def 2;
hence (M1 - M2) + M3 = ((- M2) + M1) + M3 by MATRIX_3:2
.= (- M2) + (M1 + M3) by A5, MATRIX_3:3
.= (- M2) + (M3 + M1) by A1, A2, A3, A4, MATRIX_3:2
.= ((- M2) + M3) + M1 by A1, A2, A3, A4, A5, MATRIX_3:3
.= (M3 - M2) + M1 by A1, A2, A3, A4, A5, MATRIX_3:2 ;
:: thesis: verum