let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 + M3 = (M1 + M2) + (M3 - M2)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 + M3 = (M1 + M2) + (M3 - M2) )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: M1 + M3 = (M1 + M2) + (M3 - M2)
A5: ( len (M1 + M2) = len M1 & width (M1 + M2) = width M1 ) by MATRIX_3:def 3;
A6: ( len (- M2) = len M1 & width (- M2) = width M1 ) by A1, A3, MATRIX_3:def 2;
hence (M1 + M2) + (M3 - M2) = (M1 + M2) + ((- M2) + M3) by A1, A2, A3, A4, MATRIX_3:2
.= ((M1 + M2) + (- M2)) + M3 by A6, A5, MATRIX_3:3
.= (M1 + (M2 - M2)) + M3 by A1, A3, MATRIX_3:3
.= M1 + M3 by A1, A3, Th20 ;
:: thesis: verum