let K be Ring; :: thesis: for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
(M1 - M2) - M3 = (M1 - M3) - M2
let M1, M2, M3 be Matrix of K; :: thesis: ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies (M1 - M2) - M3 = (M1 - M3) - M2 )
assume that
A1: len M1 = len M2 and
A2: len M2 = len M3 and
A3: width M1 = width M2 and
A4: width M2 = width M3 ; :: thesis: (M1 - M2) - M3 = (M1 - M3) - M2
A5: ( len (- M3) = len M3 & width (- M3) = width M3 ) by MATRIX_3:def 2;
A6: ( len (- M2) = len M2 & width (- M2) = width M2 ) by MATRIX_3:def 2;
hence (M1 - M2) - M3 = M1 + ((- M2) + (- M3)) by A1, A3, MATRIX_3:3
.= M1 + ((- M3) + (- M2)) by A2, A4, A6, A5, MATRIX_3:2
.= (M1 - M3) - M2 by A1, A2, A3, A4, A5, MATRIX_3:3 ;
:: thesis: verum