let G be Go-board; ( 1 < width G & 1 < len G implies LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,(len G),0))) \/ (Int (cell (G,((len G) -' 1),0)))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)} )
assume that
A1:
1 < width G
and
A2:
1 < len G
; LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,(len G),0))) \/ (Int (cell (G,((len G) -' 1),0)))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}
set q2 = G * ((len G),1);
set q3 = G * (((len G) -' 1),1);
set r = 1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1);
A3:
((len G) -' 1) + 1 = len G
by A2, XREAL_1:235;
then A4:
(len G) -' 1 >= 1
by A2, NAT_1:13;
A5:
(len G) -' 1 < len G
by A3, NAT_1:13;
then
(G * (((len G) -' 1),1)) `1 < (G * ((len G),1)) `1
by A1, A4, GOBOARD5:3;
then A6:
((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1) > 0
by XREAL_1:50;
then
1 < ((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1
by XREAL_1:29, XREAL_1:129;
then A7:
1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1) < 1
by XREAL_1:212;
A8: (G * ((len G),1)) `2 =
(G * (1,1)) `2
by A1, A2, GOBOARD5:1
.=
(G * (((len G) -' 1),1)) `2
by A1, A4, A5, GOBOARD5:1
;
A9: (((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|))) `2 =
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|)) `2) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `2)
by Lm1
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|) `2)) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `2)
by Lm3
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|) `2)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|) `2))
by Lm3
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (((G * ((len G),1)) `2) + (|[1,(- 1)]| `2))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|) `2))
by Lm1
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (((G * ((len G),1)) `2) + (|[1,(- 1)]| `2))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) `2) - (|[0,1]| `2)))
by Lm2
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (((G * ((len G),1)) `2) + (- 1))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) `2) - (|[0,1]| `2)))
by EUCLID:52
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (((G * ((len G),1)) `2) - 1)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) `2) - 1))
by EUCLID:52
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `2)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) `2))) - 1
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `2)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1))) `2)))) - 1
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `2)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `2) + ((G * ((len G),1)) `2))))) - 1
by A8, Lm1
.=
((G * ((len G),1)) `2) - (|[0,1]| `2)
by EUCLID:52
.=
((G * ((len G),1)) - |[0,1]|) `2
by Lm2
;
A10: (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) `1))) - ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * (((len G) -' 1),1)) `1)))) + (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) =
(1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)
.=
1
by A6, XCMPLX_1:106
;
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|))) `1 =
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|)) `1) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `1)
by Lm1
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (G * ((len G),1))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * |[1,(- 1)]|)) `1) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `1)
by RLVECT_1:def 5
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (G * ((len G),1))) `1) + (((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * |[1,(- 1)]|) `1)) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `1)
by Lm1
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (G * ((len G),1))) `1) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (|[1,(- 1)]| `1))) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `1)
by Lm3
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * (G * ((len G),1))) `1) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * 1)) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `1)
by EUCLID:52
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `1)) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * 1)) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) `1)
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|) `1))
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) `1) - (|[0,1]| `1)))
by Lm2
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) `1) - 0))
by EUCLID:52
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1))) `1)))
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) + ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))))
by Lm1
.=
((G * ((len G),1)) `1) - 0
by A10
.=
((G * ((len G),1)) `1) - (|[0,1]| `1)
by EUCLID:52
.=
((G * ((len G),1)) - |[0,1]|) `1
by Lm2
;
then ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1))) * ((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),1)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),1)) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) =
|[(((G * ((len G),1)) - |[0,1]|) `1),(((G * ((len G),1)) - |[0,1]|) `2)]|
by A9, EUCLID:53
.=
(G * ((len G),1)) - |[0,1]|
by EUCLID:53
;
then
(G * ((len G),1)) - |[0,1]| in LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|))
by A6, A7;
then A11:
LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) = (LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),((G * ((len G),1)) - |[0,1]|))) \/ (LSeg (((G * ((len G),1)) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)))
by TOPREAL1:5;
set I1 = Int (cell (G,(len G),0));
set I2 = Int (cell (G,((len G) -' 1),0));
A12: ((Int (cell (G,(len G),0))) \/ (Int (cell (G,((len G) -' 1),0)))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)} =
(Int (cell (G,(len G),0))) \/ ((Int (cell (G,((len G) -' 1),0))) \/ ({((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)} \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}))
by XBOOLE_1:4
.=
(Int (cell (G,(len G),0))) \/ (((Int (cell (G,((len G) -' 1),0))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)})
by XBOOLE_1:4
.=
((Int (cell (G,(len G),0))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}) \/ ((Int (cell (G,((len G) -' 1),0))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)})
by XBOOLE_1:4
;
A13:
LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)) c= (Int (cell (G,(len G),0))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}
by Th61;
LSeg (((G * ((len G),1)) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) c= (Int (cell (G,((len G) -' 1),0))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}
by A3, A4, A5, Th53;
hence
LSeg (((G * ((len G),1)) + |[1,(- 1)]|),(((1 / 2) * ((G * ((len G),1)) + (G * (((len G) -' 1),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,(len G),0))) \/ (Int (cell (G,((len G) -' 1),0)))) \/ {((G * ((len G),1)) - |[0,1]|)}
by A11, A13, A12, XBOOLE_1:13; verum