let i be Nat; for G being Go-board st 1 < width G & 1 <= i & i + 1 < len G holds
LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,i,0))) \/ (Int (cell (G,(i + 1),0)))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}
let G be Go-board; ( 1 < width G & 1 <= i & i + 1 < len G implies LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,i,0))) \/ (Int (cell (G,(i + 1),0)))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)} )
assume that
A1:
1 < width G
and
A2:
1 <= i
and
A3:
i + 1 < len G
; LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,i,0))) \/ (Int (cell (G,(i + 1),0)))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}
set p1 = G * (i,1);
set p2 = G * ((i + 1),1);
set q3 = G * ((i + 2),1);
set r = (((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1));
A4:
(i + 1) + 1 = i + (1 + 1)
;
then A5:
i + 2 >= 1
by NAT_1:11;
A6:
i + (1 + 1) <= len G
by A3, A4, NAT_1:13;
set I1 = Int (cell (G,i,0));
set I2 = Int (cell (G,(i + 1),0));
A7: ((Int (cell (G,i,0))) \/ (Int (cell (G,(i + 1),0)))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)} =
(Int (cell (G,i,0))) \/ ((Int (cell (G,(i + 1),0))) \/ ({((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)} \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}))
by XBOOLE_1:4
.=
(Int (cell (G,i,0))) \/ (((Int (cell (G,(i + 1),0))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)})
by XBOOLE_1:4
.=
((Int (cell (G,i,0))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}) \/ ((Int (cell (G,(i + 1),0))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)})
by XBOOLE_1:4
;
A8:
LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|),((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)) c= (Int (cell (G,(i + 1),0))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}
by A3, A4, Th52, NAT_1:11;
i < i + 1
by XREAL_1:29;
then
(G * (i,1)) `1 < (G * ((i + 1),1)) `1
by A1, A2, A3, GOBOARD5:3;
then A9:
((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1) > 0
by XREAL_1:50;
A10:
i + 1 >= 1
by NAT_1:11;
then A11: (G * ((i + 1),1)) `2 =
(G * (1,1)) `2
by A1, A3, GOBOARD5:1
.=
(G * ((i + 2),1)) `2
by A1, A6, A5, GOBOARD5:1
;
i <= i + 1
by NAT_1:11;
then A12:
i < len G
by A3, XXREAL_0:2;
then (G * (i,1)) `2 =
(G * (1,1)) `2
by A1, A2, GOBOARD5:1
.=
(G * ((i + 1),1)) `2
by A1, A3, A10, GOBOARD5:1
;
then A13: 1 * ((G * ((i + 1),1)) `2) =
((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((G * (i,1)) `2)) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((G * ((i + 2),1)) `2))
by A11
.=
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) `2) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((G * ((i + 2),1)) `2))
by Lm3
.=
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) `2) + ((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))) `2)
by Lm3
.=
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))) `2
by Lm1
;
i + 1 < i + 2
by XREAL_1:6;
then
(G * ((i + 1),1)) `1 < (G * ((i + 2),1)) `1
by A1, A10, A6, GOBOARD5:3;
then A14:
((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1) < ((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)
by XREAL_1:9;
then
((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) = ((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)
by A9, XCMPLX_1:87;
then
(G * ((i + 1),1)) `1 = ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((G * (i,1)) `1)) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((G * ((i + 2),1)) `1))
;
then 1 * ((G * ((i + 1),1)) `1) =
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) `1) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((G * ((i + 2),1)) `1))
by Lm3
.=
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) `1) + ((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))) `1)
by Lm3
.=
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))) `1
by Lm1
;
then A15: ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))) =
|[((G * ((i + 1),1)) `1),((G * ((i + 1),1)) `2)]|
by A13, EUCLID:53
.=
G * ((i + 1),1)
by EUCLID:53
;
G * ((i + 1),1) =
1 * (G * ((i + 1),1))
by RLVECT_1:def 8
.=
((1 / 2) * (G * ((i + 1),1))) + ((1 / 2) * (G * ((i + 1),1)))
by Lm7, RLVECT_1:def 6
.=
((1 / 2) * (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) + ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by A15, RLVECT_1:def 8
.=
((1 / 2) * (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 6
.=
(((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 5
.=
(((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + (((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 5
.=
((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + (((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1)))) + (((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))))))
by RLVECT_1:def 3
.=
((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + (((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1)))) + (((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))))))
by RLVECT_1:def 3
.=
(((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))))) + (((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 3
.=
((((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))))
by RLVECT_1:def 3
.=
(((1 / 2) * (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * ((i + 1),1))) + ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (G * (i,1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))))
by RLVECT_1:def 5
.=
(((1 / 2) * ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))))
by RLVECT_1:def 5
.=
((((1 / 2) * (1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))))) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1))))
by RLVECT_1:def 7
.=
(((1 / 2) * (1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))))) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) + (((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 3
.=
(((1 / 2) * (1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))))) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * ((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 1),1))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 5
;
then A16: G * ((i + 1),1) =
(((1 / 2) * (1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))))) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 5
.=
((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) + ((1 / 2) * (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 7
.=
((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) + (((1 / 2) * ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1))))
by RLVECT_1:def 7
.=
((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))))
by RLVECT_1:def 7
;
A17: ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * (((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|)) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)) =
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) - ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * |[0,1]|)) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * (((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|))
by RLVECT_1:34
.=
(((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) - ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * |[0,1]|)) + ((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1))))) - (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * |[0,1]|))
by RLVECT_1:34
.=
((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1))))) + (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1))))) - ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * |[0,1]|))) - (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * |[0,1]|)
by RLVECT_1:def 3
.=
(((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1))))) + ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))))) - ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * |[0,1]|)) - (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * |[0,1]|)
by RLVECT_1:def 3
.=
((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1))))) + ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))))) - (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * |[0,1]|) + (((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * |[0,1]|))
by RLVECT_1:27
.=
((((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1))) * ((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1))))) + ((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * ((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))))) - (((1 - ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) + ((((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)))) * |[0,1]|)
by RLVECT_1:def 6
.=
(G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|
by A16, RLVECT_1:def 8
;
(((G * ((i + 1),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) / (((G * ((i + 2),1)) `1) - ((G * (i,1)) `1)) < 1
by A14, A9, XREAL_1:189;
then
(G * ((i + 1),1)) - |[0,1]| in LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|))
by A14, A9, A17;
then A18:
LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)) = (LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|))) \/ (LSeg (((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)))
by TOPREAL1:5;
LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)) c= (Int (cell (G,i,0))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}
by A2, A12, Th53;
hence
LSeg ((((1 / 2) * ((G * (i,1)) + (G * ((i + 1),1)))) - |[0,1]|),(((1 / 2) * ((G * ((i + 1),1)) + (G * ((i + 2),1)))) - |[0,1]|)) c= ((Int (cell (G,i,0))) \/ (Int (cell (G,(i + 1),0)))) \/ {((G * ((i + 1),1)) - |[0,1]|)}
by A18, A8, A7, XBOOLE_1:13; verum