let j be Nat; for G being Go-board st 1 <= j & j < width G & 1 < len G holds
LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) c= ((Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ (Int (cell (G,(len G),j)))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}
let G be Go-board; ( 1 <= j & j < width G & 1 < len G implies LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) c= ((Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ (Int (cell (G,(len G),j)))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))} )
assume that
A1:
1 <= j
and
A2:
j < width G
and
A3:
1 < len G
; LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) c= ((Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ (Int (cell (G,(len G),j)))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}
set I1 = Int (cell (G,((len G) -' 1),j));
set I2 = Int (cell (G,(len G),j));
set p1 = G * ((len G),j);
set q2 = G * ((len G),(j + 1));
set q3 = G * (((len G) -' 1),(j + 1));
set r = 1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1);
A4:
((len G) -' 1) + 1 = len G
by A3, XREAL_1:235;
then A5:
1 <= (len G) -' 1
by A3, NAT_1:13;
A6:
(len G) -' 1 < len G
by A4, NAT_1:13;
then
(G * (((len G) -' 1),j)) + (G * ((len G),(j + 1))) = (G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))
by A1, A2, A4, A5, Th11;
then A7:
LSeg (((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) c= (Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}
by A1, A2, A4, A5, A6, Th42;
A8:
( j + 1 >= 1 & j + 1 <= width G )
by A2, NAT_1:11, NAT_1:13;
then A9: (G * ((len G),(j + 1))) `2 =
(G * (1,(j + 1))) `2
by A3, GOBOARD5:1
.=
(G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `2
by A5, A6, A8, GOBOARD5:1
;
A10: (G * ((len G),(j + 1))) `1 =
(G * ((len G),1)) `1
by A3, A8, GOBOARD5:2
.=
(G * ((len G),j)) `1
by A1, A2, A3, GOBOARD5:2
;
then
(G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1 < (G * ((len G),j)) `1
by A5, A6, A8, GOBOARD5:3;
then A11:
((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1) > 0
by XREAL_1:50;
then
1 < ((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1
by XREAL_1:29, XREAL_1:129;
then A12:
1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1) < 1
by XREAL_1:212;
A13: ((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|)) `2 =
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) `2) + (((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|) `2)
by Lm1
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) `2) + (|[((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * 1),((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * 0)]| `2)
by EUCLID:58
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) `2) + 0
by EUCLID:52
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) `2) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))) `2)
by Lm1
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `2)) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))) `2)
by Lm3
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `2)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))) `2))
by Lm3
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),(j + 1))) `2))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))) `2))
by Lm3
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),(j + 1))) `2))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),(j + 1))) `2)))
by A9, Lm3
.=
((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `2
by Lm3
;
A14: ((Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ (Int (cell (G,(len G),j)))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))} =
(Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ ((Int (cell (G,(len G),j))) \/ ({((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))} \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}))
by XBOOLE_1:4
.=
(Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ (((Int (cell (G,(len G),j))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))})
by XBOOLE_1:4
.=
((Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}) \/ ((Int (cell (G,(len G),j))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))})
by XBOOLE_1:4
;
A15: ((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))) =
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))
by RLVECT_1:def 3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by RLVECT_1:def 3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (G * ((len G),j))) + ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by RLVECT_1:def 5
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * (G * ((len G),j))) + ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (G * ((len G),j))) + ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by RLVECT_1:def 5
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * (G * ((len G),j))) + ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by RLVECT_1:def 5
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by RLVECT_1:def 5
;
A16: (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),(j + 1))) `1))) - ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1)))) + (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) =
(1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (((G * ((len G),(j + 1))) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)
.=
1
by A10, A11, XCMPLX_1:106
;
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|)) `1 =
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) `1) + (((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|) `1)
by Lm1
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) `1) + (|[((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * 1),((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * 0)]| `1)
by EUCLID:58
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) `1) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)))
by EUCLID:52
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) `1) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)))
by Lm1
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `1)) + (((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))) `1)) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)))
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `1)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))) `1))) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)))
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),(j + 1))) `1))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * (((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))) `1))) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)))
by Lm3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),(j + 1))) `1))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1)))) + (1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)))
by Lm3
.=
((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `1
by A16, Lm3
;
then A17: (((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|) =
|[(((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `1),(((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))) `2)]|
by A13, EUCLID:53
.=
(1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))
by EUCLID:53
;
(1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))) =
((1 / 2) * (G * ((len G),j))) + ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))
by RLVECT_1:def 5
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) + (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))
by RLVECT_1:def 8
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j))))) + ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))
by RLVECT_1:def 6
.=
((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j))))) + (((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|)
by A17, RLVECT_1:def 3
.=
(((((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j)))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * ((len G),j))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|)
by RLVECT_1:def 3
.=
(((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))) + ((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * |[1,0]|)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by A15, RLVECT_1:def 3
.=
((1 - (1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1))) * (((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|)) + ((1 / (((1 / 2) * (((G * ((len G),j)) `1) - ((G * (((len G) -' 1),(j + 1))) `1))) + 1)) * ((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by RLVECT_1:def 5
;
then
(1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))) in LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1))))))
by A11, A12;
then A18:
LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) = (LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))))) \/ (LSeg (((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))))
by TOPREAL1:5;
LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))) c= (Int (cell (G,(len G),j))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}
by A1, A2, Th45;
hence
LSeg ((((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1))))) + |[1,0]|),((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * (((len G) -' 1),(j + 1)))))) c= ((Int (cell (G,((len G) -' 1),j))) \/ (Int (cell (G,(len G),j)))) \/ {((1 / 2) * ((G * ((len G),j)) + (G * ((len G),(j + 1)))))}
by A18, A7, A14, XBOOLE_1:13; verum