let z1, z2, z3, z4 be Element of F_Complex; :: thesis: ( z2 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
reconsider z19 = z1, z29 = z2, z39 = z3, z49 = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1: z2 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
then A2: z1 / z2 = z19 / z29 by Th6;
assume A3: z4 <> 0. F_Complex ; :: thesis: (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4)
then A4: z2 * z4 <> 0. F_Complex by A1, VECTSP_1:12;
z3 / z4 = z39 / z49 by A3, Th6;
hence (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z19 * z49) + (z39 * z29)) / (z29 * z49) by A1, A3, A2, Th7, XCMPLX_1:116
.= ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) by A4, Th6 ;
:: thesis: verum