let z1, z2, z3, z4 be Element of F_Complex; ( z2 <> 0. F_Complex & z3 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
reconsider z19 = z1, z29 = z2, z39 = z3, z49 = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1:
z2 <> 0. F_Complex
; ( not z3 <> 0. F_Complex or not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
then A2:
z1 / z2 = z19 / z29
by Th6;
assume A3:
z3 <> 0. F_Complex
; ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
then A4:
z2 * z3 <> 0. F_Complex
by A1, VECTSP_1:12;
assume A5:
z4 <> 0. F_Complex
; (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3)
then A6:
z3 / z4 = z39 / z49
by Th6;
z3 / z4 <> 0. F_Complex
by A3, A5, Th26;
hence (z1 / z2) / (z3 / z4) =
(z19 / z29) / (z39 / z49)
by A2, A6, Th6
.=
(z19 * z49) / (z29 * z39)
by XCMPLX_1:84
.=
(z1 * z4) / (z2 * z3)
by A4, Th6
;
verum