let r be Complex; :: thesis: for f1, f2 being complex-valued Function holds r (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (r (#) f2)
let f1, f2 be complex-valued Function; :: thesis: r (#) (f1 (#) f2) = f1 (#) (r (#) f2)
thus A1: dom (r (#) (f1 (#) f2)) = dom (f1 (#) f2) by VALUED_1:def 5
.= (dom f1) /\ (dom f2) by VALUED_1:def 4
.= (dom f1) /\ (dom (r (#) f2)) by VALUED_1:def 5
.= dom (f1 (#) (r (#) f2)) by VALUED_1:def 4 ; :: according to FUNCT_1:def 11 :: thesis: for b₁ being object holds
( not b₁ in dom (r (#) (f1 (#) f2)) or (r (#) (f1 (#) f2)) . b₁ = (f1 (#) (r (#) f2)) . b₁ )
let c be object ; :: thesis: ( not c in dom (r (#) (f1 (#) f2)) or (r (#) (f1 (#) f2)) . c = (f1 (#) (r (#) f2)) . c )
assume A2: c in dom (r (#) (f1 (#) f2)) ; :: thesis: (r (#) (f1 (#) f2)) . c = (f1 (#) (r (#) f2)) . c
then A3: c in dom (f1 (#) f2) by VALUED_1:def 5;
c in (dom f1) /\ (dom (r (#) f2)) by A1, A2, VALUED_1:def 4;
then A4: c in dom (r (#) f2) by XBOOLE_0:def 4;
thus (r (#) (f1 (#) f2)) . c = r * ((f1 (#) f2) . c) by A2, VALUED_1:def 5
.= r * ((f1 . c) * (f2 . c)) by A3, VALUED_1:def 4
.= (f1 . c) * (r * (f2 . c))
.= (f1 . c) * ((r (#) f2) . c) by A4, VALUED_1:def 5
.= (f1 (#) (r (#) f2)) . c by A1, A2, VALUED_1:def 4 ; :: thesis: verum