let Y be non empty set ; :: thesis: for a, b being Function of Y,BOOLEAN holds 'not' a '<' (b 'imp' a) 'eqv' ('not' b)
let a, b be Function of Y,BOOLEAN; :: thesis: 'not' a '<' (b 'imp' a) 'eqv' ('not' b)
let z be Element of Y; :: according to BVFUNC_1:def 12 :: thesis: ( not ('not' a) . z = TRUE or ((b 'imp' a) 'eqv' ('not' b)) . z = TRUE )
assume ('not' a) . z = TRUE ; :: thesis: ((b 'imp' a) 'eqv' ('not' b)) . z = TRUE
then A1: 'not' (a . z) = TRUE by MARGREL1:def 19;
((b 'imp' a) 'eqv' ('not' b)) . z = ((('not' b) 'or' a) 'eqv' ('not' b)) . z by BVFUNC_4:8
.= (((('not' b) 'or' a) 'imp' ('not' b)) '&' (('not' b) 'imp' (('not' b) 'or' a))) . z by BVFUNC_4:7
.= ((('not' (('not' b) 'or' a)) 'or' ('not' b)) '&' (('not' b) 'imp' (('not' b) 'or' a))) . z by BVFUNC_4:8
.= ((('not' (('not' b) 'or' a)) 'or' ('not' b)) '&' (('not' ('not' b)) 'or' (('not' b) 'or' a))) . z by BVFUNC_4:8
.= ((('not' (('not' b) 'or' a)) 'or' ('not' b)) . z) '&' ((('not' ('not' b)) 'or' (('not' b) 'or' a)) . z) by MARGREL1:def 20
.= ((('not' (('not' b) 'or' a)) . z) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((('not' ('not' b)) 'or' (('not' b) 'or' a)) . z) by BVFUNC_1:def 4
.= (('not' ((('not' b) 'or' a) . z)) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((('not' ('not' b)) 'or' (('not' b) 'or' a)) . z) by MARGREL1:def 19
.= (('not' ((('not' b) . z) 'or' (a . z))) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((('not' ('not' b)) 'or' (('not' b) 'or' a)) . z) by BVFUNC_1:def 4
.= ((('not' ('not' (b . z))) '&' ('not' (a . z))) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((('not' ('not' b)) 'or' (('not' b) 'or' a)) . z) by MARGREL1:def 19
.= (((b . z) '&' ('not' (a . z))) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((('not' ('not' b)) . z) 'or' ((('not' b) 'or' a) . z)) by BVFUNC_1:def 4
.= (((b . z) '&' ('not' (a . z))) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((('not' ('not' b)) . z) 'or' ((('not' b) . z) 'or' (a . z))) by BVFUNC_1:def 4
.= (((b . z) '&' ('not' (a . z))) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((b . z) 'or' (('not' (b . z)) 'or' (a . z))) by MARGREL1:def 19
.= ((TRUE '&' (b . z)) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((b . z) 'or' (('not' (b . z)) 'or' FALSE)) by A1
.= ((b . z) 'or' (('not' b) . z)) '&' ((b . z) 'or' (('not' (b . z)) 'or' FALSE))
.= ((b . z) 'or' ('not' (b . z))) '&' ((b . z) 'or' (('not' (b . z)) 'or' FALSE)) by MARGREL1:def 19
.= TRUE '&' ((b . z) 'or' (('not' (b . z)) 'or' FALSE))
.= (b . z) 'or' (('not' (b . z)) 'or' FALSE)
.= ((b . z) 'or' ('not' (b . z))) 'or' FALSE
.= TRUE 'or' FALSE by XBOOLEAN:102
.= TRUE ;
hence ((b 'imp' a) 'eqv' ('not' b)) . z = TRUE ; :: thesis: verum