let Y be non empty set ; :: thesis: for a, b, c being Function of Y,BOOLEAN holds a 'eqv' (b 'eqv' c) = (a 'eqv' b) 'eqv' c
let a, b, c be Function of Y,BOOLEAN; :: thesis: a 'eqv' (b 'eqv' c) = (a 'eqv' b) 'eqv' c
A1: (a 'eqv' b) 'eqv' c = ((a 'eqv' b) 'imp' c) '&' (c 'imp' (a 'eqv' b)) by BVFUNC_4:7
.= (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) 'imp' c) '&' (c 'imp' (a 'eqv' b)) by BVFUNC_4:7
.= (((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)) 'imp' c) '&' (c 'imp' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) by BVFUNC_4:7
.= (((('not' a) 'or' b) '&' (b 'imp' a)) 'imp' c) '&' (c 'imp' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) by BVFUNC_4:8
.= (((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a)) 'imp' c) '&' (c 'imp' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) 'or' c) '&' (c 'imp' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (b 'imp' a))) by BVFUNC_4:8
.= (('not' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) by BVFUNC_4:8
.= ((('not' (('not' a) 'or' b)) 'or' ('not' (('not' b) 'or' a))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) by BVFUNC_1:14
.= (((('not' ('not' a)) '&' ('not' b)) 'or' ('not' (('not' b) 'or' a))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) by BVFUNC_1:13
.= (((a '&' ('not' b)) 'or' (('not' ('not' b)) '&' ('not' a))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) by BVFUNC_1:13
.= (((a 'or' b) '&' (('not' a) 'or' ('not' b))) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) by Th15
.= (((a 'or' b) 'or' c) '&' ((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c)) '&' (('not' c) 'or' ((('not' a) 'or' b) '&' (('not' b) 'or' a))) by BVFUNC_1:11
.= (((a 'or' b) 'or' c) '&' ((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c)) '&' (((a 'or' ('not' b)) 'or' ('not' c)) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) by BVFUNC_1:11
.= (((a 'or' b) 'or' c) '&' (((a 'or' ('not' b)) 'or' ('not' c)) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c)))) '&' ((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) by BVFUNC_1:4
.= ((((a 'or' b) 'or' c) '&' ((a 'or' ('not' b)) 'or' ('not' c))) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) '&' ((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) by BVFUNC_1:4 ;
a 'eqv' (b 'eqv' c) = (a 'imp' (b 'eqv' c)) '&' ((b 'eqv' c) 'imp' a) by BVFUNC_4:7
.= (a 'imp' ((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b))) '&' ((b 'eqv' c) 'imp' a) by BVFUNC_4:7
.= (a 'imp' ((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b))) '&' (((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b)) 'imp' a) by BVFUNC_4:7
.= (('not' a) 'or' ((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b))) '&' (((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b)) 'imp' a) by BVFUNC_4:8
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (c 'imp' b))) '&' (((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b)) 'imp' a) by BVFUNC_4:8
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (((b 'imp' c) '&' (c 'imp' b)) 'imp' a) by BVFUNC_4:8
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (((('not' b) 'or' c) '&' (c 'imp' b)) 'imp' a) by BVFUNC_4:8
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b)) 'imp' a) by BVFUNC_4:8
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (('not' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) 'or' a) by BVFUNC_4:8
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' ((('not' (('not' b) 'or' c)) 'or' ('not' (('not' c) 'or' b))) 'or' a) by BVFUNC_1:14
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (((('not' ('not' b)) '&' ('not' c)) 'or' ('not' (('not' c) 'or' b))) 'or' a) by BVFUNC_1:13
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (((b '&' ('not' c)) 'or' (('not' ('not' c)) '&' ('not' b))) 'or' a) by BVFUNC_1:13
.= (('not' a) 'or' ((('not' b) 'or' c) '&' (('not' c) 'or' b))) '&' (((b 'or' c) '&' (('not' b) 'or' ('not' c))) 'or' a) by Th15
.= ((('not' a) 'or' (('not' b) 'or' c)) '&' (('not' a) 'or' (('not' c) 'or' b))) '&' (((b 'or' c) '&' (('not' b) 'or' ('not' c))) 'or' a) by BVFUNC_1:11
.= (((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) '&' (('not' a) 'or' (b 'or' ('not' c)))) '&' (((b 'or' c) '&' (('not' b) 'or' ('not' c))) 'or' a) by BVFUNC_1:8
.= (((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) '&' (((b 'or' c) '&' (('not' b) 'or' ('not' c))) 'or' a) by BVFUNC_1:8
.= (((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) '&' ((a 'or' (b 'or' c)) '&' (a 'or' (('not' b) 'or' ('not' c)))) by BVFUNC_1:11
.= (((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) '&' (((a 'or' b) 'or' c) '&' (a 'or' (('not' b) 'or' ('not' c)))) by BVFUNC_1:8
.= (((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) '&' (((a 'or' b) 'or' c) '&' ((a 'or' ('not' b)) 'or' ('not' c))) by BVFUNC_1:8
.= ((((a 'or' b) 'or' c) '&' ((a 'or' ('not' b)) 'or' ('not' c))) '&' ((('not' a) 'or' b) 'or' ('not' c))) '&' ((('not' a) 'or' ('not' b)) 'or' c) by BVFUNC_1:4 ;
hence a 'eqv' (b 'eqv' c) = (a 'eqv' b) 'eqv' c by A1; :: thesis: verum