let X be BCI-algebra; :: thesis: for x being Element of X holds
( x in AtomSet X iff for y, z being Element of X holds x \ (z \ y) <= y \ (z \ x) )
let x be Element of X; :: thesis: ( x in AtomSet X iff for y, z being Element of X holds x \ (z \ y) <= y \ (z \ x) )
thus ( x in AtomSet X implies for y, z being Element of X holds x \ (z \ y) <= y \ (z \ x) ) :: thesis: ( ( for y, z being Element of X holds x \ (z \ y) <= y \ (z \ x) ) implies x in AtomSet X )

proof

assume x in AtomSet X ; :: thesis: for y, z being Element of X holds x \ (z \ y) <= y \ (z \ x)
then A1: ex x1 being Element of X st
( x = x1 & x1 is atom ) ;
let y, z be Element of X; :: thesis: x \ (z \ y) <= y \ (z \ x)
(z \ (z \ x)) \ x = 0. X by Th1;
then (x \ (z \ y)) \ (y \ (z \ x)) = ((z \ (z \ x)) \ (z \ y)) \ (y \ (z \ x)) by A1;
then (x \ (z \ y)) \ (y \ (z \ x)) = ((z \ (z \ y)) \ (z \ x)) \ (y \ (z \ x)) by Th7;
then (x \ (z \ y)) \ (y \ (z \ x)) = (((z \ (z \ y)) \ (z \ x)) \ (y \ (z \ x))) \ (0. X) by Th2;
then (x \ (z \ y)) \ (y \ (z \ x)) = (((z \ (z \ y)) \ (z \ x)) \ (y \ (z \ x))) \ ((z \ (z \ y)) \ y) by Th1;
then (x \ (z \ y)) \ (y \ (z \ x)) = 0. X by Def3;
hence x \ (z \ y) <= y \ (z \ x) ; :: thesis: verum

end;

assume A2: for y, z being Element of X holds x \ (z \ y) <= y \ (z \ x) ; :: thesis: x in AtomSet X

now :: thesis: for z being Element of X st z \ x = 0. X holds
z = x

let z be Element of X; :: thesis: ( z \ x = 0. X implies z = x )
assume A3: z \ x = 0. X ; :: thesis: z = x
x \ (z \ (0. X)) <= (z \ x) ` by A2;
then (x \ (z \ (0. X))) \ ((0. X) `) = 0. X by A3;
then (x \ (z \ (0. X))) \ (0. X) = 0. X by Th2;
then x \ (z \ (0. X)) = 0. X by Th2;
then x \ z = 0. X by Th2;
hence z = x by A3, Def7; :: thesis: verum

end;

then x is atom ;
hence x in AtomSet X ; :: thesis: verum