let X be Complex_Banach_Algebra; :: thesis: for z being Element of X
for n being Element of NAT holds
( z * (z #N n) = z #N (n + 1) & (z #N n) * z = z #N (n + 1) & z * (z #N n) = (z #N n) * z )
let z be Element of X; :: thesis: for n being Element of NAT holds
( z * (z #N n) = z #N (n + 1) & (z #N n) * z = z #N (n + 1) & z * (z #N n) = (z #N n) * z )
let n be Element of NAT ; :: thesis: ( z * (z #N n) = z #N (n + 1) & (z #N n) * z = z #N (n + 1) & z * (z #N n) = (z #N n) * z )
defpred S₁[ Element of NAT ] means z * (z #N $1) = z #N ($1 + 1);
A1: z #N (0 + 1) = (z GeoSeq) . (0 + 1) by CLOPBAN3:def 8
.= ((z GeoSeq) . 0) * z by CLOPBAN3:def 7
.= (1. X) * z by CLOPBAN3:def 7
.= z by CLOPBAN3:38 ;
A2: for k being Element of NAT st S₁[k] holds
S₁[k + 1]

proof

let k be Element of NAT ; :: thesis: ( S₁[k] implies S₁[k + 1] )
assume A3: S₁[k] ; :: thesis: S₁[k + 1]
thus z * (z #N (k + 1)) = z * ((z GeoSeq) . (k + 1)) by CLOPBAN3:def 8
.= z * (((z GeoSeq) . k) * z) by CLOPBAN3:def 7
.= z * ((z #N k) * z) by CLOPBAN3:def 8
.= (z * (z #N k)) * z by CLOPBAN3:38
.= ((z GeoSeq) . (k + 1)) * z by A3, CLOPBAN3:def 8
.= (z GeoSeq) . ((k + 1) + 1) by CLOPBAN3:def 7
.= z #N ((k + 1) + 1) by CLOPBAN3:def 8 ; :: thesis: verum

end;

z * (z #N 0) = z * ((z GeoSeq) . 0) by CLOPBAN3:def 8
.= z * (1. X) by CLOPBAN3:def 7
.= z by CLOPBAN3:38 ;
then A4: S₁[ 0 ] by A1;
A5: for n being Element of NAT holds S₁[n] from NAT_1:sch 1(A4, A2);

now

let n be Element of NAT ; :: thesis: ( z * (z #N n) = z #N (n + 1) & (z #N n) * z = z #N (n + 1) & z * (z #N n) = (z #N n) * z )
thus z * (z #N n) = z #N (n + 1) by A5; :: thesis: ( (z #N n) * z = z #N (n + 1) & z * (z #N n) = (z #N n) * z )
thus (z #N n) * z = ((z GeoSeq) . n) * z by CLOPBAN3:def 8
.= (z GeoSeq) . (n + 1) by CLOPBAN3:def 7
.= z #N (n + 1) by CLOPBAN3:def 8 ; :: thesis: z * (z #N n) = (z #N n) * z
hence z * (z #N n) = (z #N n) * z by A5; :: thesis: verum

end;

hence ( z * (z #N n) = z #N (n + 1) & (z #N n) * z = z #N (n + 1) & z * (z #N n) = (z #N n) * z ) ; :: thesis: verum