let P be the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT ; :: thesis: for s being 0 -started State of SCMPDS
for f, g being FinSequence of INT
for p0, n being Element of NAT st s . GBP = 0 & s . (intpos 2) = n - 1 & s . (intpos 3) = p0 + 1 & s . (intpos 1) = 0 & p0 >= 6 & f is_FinSequence_on s,p0 & g is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),P,s),p0 & len f = n & len g = n holds
( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n )
set a = GBP ;
let s be 0 -started State of SCMPDS; :: thesis: for f, g being FinSequence of INT
for p0, n being Element of NAT st s . GBP = 0 & s . (intpos 2) = n - 1 & s . (intpos 3) = p0 + 1 & s . (intpos 1) = 0 & p0 >= 6 & f is_FinSequence_on s,p0 & g is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),P,s),p0 & len f = n & len g = n holds
( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n )
let f, g be FinSequence of INT ; :: thesis: for p0, n being Element of NAT st s . GBP = 0 & s . (intpos 2) = n - 1 & s . (intpos 3) = p0 + 1 & s . (intpos 1) = 0 & p0 >= 6 & f is_FinSequence_on s,p0 & g is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),P,s),p0 & len f = n & len g = n holds
( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n )
let p0, n be Element of NAT ; :: thesis: ( s . GBP = 0 & s . (intpos 2) = n - 1 & s . (intpos 3) = p0 + 1 & s . (intpos 1) = 0 & p0 >= 6 & f is_FinSequence_on s,p0 & g is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),P,s),p0 & len f = n & len g = n implies ( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n ) )
assume that
A1: s . GBP = 0 and
A2: s . (intpos 2) = n - 1 and
A3: s . (intpos 3) = p0 + 1 and
A4: s . (intpos 1) = 0 and
A5: p0 >= 6 and
A6: ( f is_FinSequence_on s,p0 & g is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),P,s),p0 ) and
A7: len f = n and
A8: len g = n ; :: thesis: ( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n )
per cases ( n = 0 or n <> 0 ) ;
suppose A9: n = 0 ; :: thesis: ( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n )
then g = {} by A8;
hence f,g are_fiberwise_equipotent by A7, A9; :: thesis: g is_non_decreasing_on 1,n
thus g is_non_decreasing_on 1,n by A9, GRAPH_2:67; :: thesis: verum
end;
suppose n <> 0 ; :: thesis: ( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n )
then n >= 1 + 0 by INT_1:20;
then n - 1 >= 0 by XREAL_1:21;
then reconsider n1 = n - 1 as Element of NAT by INT_1:16;
defpred S1[ Nat] means for t being State of SCMPDS
for Q being the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT
for f1, f2 being FinSequence of INT
for m being Element of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = $1 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n );
A10: ( (s . (intpos 2)) + (s . (intpos 1)) = (n - 1) + 0 & 1 = n - (s . (intpos 2)) ) by A2, A4;
A11: now
let k be Element of NAT ; :: thesis: ( S1[k] implies S1[k + 1] )
assume A12: S1[k] ; :: thesis: S1[k + 1]
now
let t be State of SCMPDS; :: thesis: for f1, f2 being FinSequence of INT
for m being Element of NAT
for Q being the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = k + 1 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
let f1, f2 be FinSequence of INT ; :: thesis: for m being Element of NAT
for Q being the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = k + 1 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
let m be Element of NAT ; :: thesis: for Q being the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = k + 1 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
let Q be the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT ; :: thesis: ( t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = k + 1 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n implies ( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n ) )
assume that
A13: t . GBP = 0 and
A14: (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 and
A15: t . (intpos 2) = k + 1 and
A16: m = n - (t . (intpos 2)) and
A17: p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 and
A18: f1 is_FinSequence_on t,p0 and
A19: f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 and
A20: ( f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n ) and
A21: len f2 = n ; :: thesis: ( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
set t1 = IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t);
set Bt = IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t);
set Q1 = Q;
A22: IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t) = IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,(Initialize t)) by SCMPDS_5:48;
A23: IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t) = IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,(Initialize t)) by SCMPDS_5:48;
A24: t . GBP = (Initialize t) . GBP by SCMPDS_5:40;
A25: t . (intpos 3) = (Initialize t) . (intpos 3) by SCMPDS_5:40;
A26: t . (intpos 1) = (Initialize t) . (intpos 1) by SCMPDS_5:40;
A27: t . (intpos 2) = (Initialize t) . (intpos 2) by SCMPDS_5:40;
A28: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . GBP = (Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) . GBP by SCMPDS_5:40;
A29: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 4) = (Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) . (intpos 4) by SCMPDS_5:40;
A30: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 6) = (Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) . (intpos 6) by SCMPDS_5:40;
A31: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 4) = (t . (intpos 3)) + 1 by A13, Lm11, A22, A24, A25;
p0 + ((t . (intpos 1)) + 1) = t . (intpos 3) by A17;
then t . (intpos 3) >= 6 + ((t . (intpos 1)) + 1) by A5, XREAL_1:8;
then A32: t . (intpos 3) >= (6 + 1) + (t . (intpos 1)) ;
then A33: (IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . GBP = 0 by A13, Lm12, A23, A24, A25, A26;
A34: (IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 2) = (t . (intpos 2)) - 1 by A13, A32, Lm12, A23, A24, A25, A26, A27;
then A35: n - ((IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 2)) = m + 1 by A16;
A36: (IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 1) = (t . (intpos 1)) + 1 by A13, A32, Lm12, A23, A24, A25, A26;
then A37: ((IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 2)) + ((IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 1)) = n - 1 by A14, A34;
(IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 3) = (t . (intpos 3)) + 1 by A13, A32, Lm12, A23, A24, A25, A26;
then A38: (((IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 3)) - ((IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos 1))) - 1 = p0 by A17, A36;
A39: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 6) = (t . (intpos 1)) + 1 by A13, Lm11, A22, A24, A26;
then A40: p0 = (((IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 4)) - ((IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 6))) - 1 by A17, A31;
A41: IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t) = IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,(Initialize t)) by SCMPDS_5:48;
now
let i be Element of NAT ; :: thesis: ( 1 <= i & i <= len f2 implies f2 . i = (IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,(IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)))) . (intpos (p0 + i)) )
assume ( 1 <= i & i <= len f2 ) ; :: thesis: f2 . i = (IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,(IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)))) . (intpos (p0 + i))
hence f2 . i = (IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) by A19, Def1
.= (IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,(IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)))) . (intpos (p0 + i)) by A13, A15, A32, Lm14, A23, A24, A25, A26, A27, A41 ;
:: thesis: verum
end;
then A42: f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,(IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t))),p0 by Def1;
now
A43: p0 + 1 >= 6 + 1 by A5, XREAL_1:8;
let i be Element of NAT ; :: thesis: ( 1 <= i & i <= len f1 implies f1 . i = (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) )
assume that
A44: 1 <= i and
A45: i <= len f1 ; :: thesis: f1 . i = (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos (p0 + i))
p0 + 1 <= p0 + i by A44, XREAL_1:8;
then A46: p0 + i >= 7 by A43, XXREAL_0:2;
A47: t . (intpos (p0 + i)) = (Initialize t) . (intpos (p0 + i)) by SCMPDS_5:40;
thus f1 . i = t . (intpos (p0 + i)) by A18, A44, A45, Def1
.= (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) by A13, A46, Lm11, A22, A24, A47 ; :: thesis: verum
end;
then A48: f1 is_FinSequence_on IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t),p0 by Def1;
(IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 4) = p0 + (((IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 6)) + 1) by A17, A31, A39;
then (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 4) >= 6 + (((IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 6)) + 1) by A5, XREAL_1:8;
then A49: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 4) >= (6 + 1) + ((IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos 6)) ;
m + (k + 1) = n by A15, A16;
then A50: n > 0 + m by XREAL_1:8;
consider h being FinSequence of INT such that
A51: len h = n and
A52: for i being Element of NAT st 1 <= i & i <= len h holds
h . i = (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)))) . (intpos (p0 + i)) by Th2;
A53: IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) = IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)))) by SCMPDS_5:48;
A54: h is_FinSequence_on IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))),p0 by A52, Def1;
now
A55: p0 + 1 >= 6 + 1 by A5, XREAL_1:8;
let i be Element of NAT ; :: thesis: ( 1 <= i & i <= len h implies h . i = (IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) )
assume that
A56: 1 <= i and
A57: i <= len h ; :: thesis: h . i = (IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos (p0 + i))
p0 + 1 <= p0 + i by A56, XREAL_1:8;
then p0 + i >= 7 by A55, XXREAL_0:2;
then A58: p0 + i > 2 by XXREAL_0:2;
thus h . i = (IExec ((while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))))),Q,(IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)))) . (intpos (p0 + i)) by A52, A56, A57
.= (IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) by A13, A32, A58, Lm12, A22, A23, A24, A25, A26 ; :: thesis: verum
end;
then A59: h is_FinSequence_on IExec (((((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))) ';' (AddTo (GBP,2,(- 1)))),Q,t),p0 by Def1;
A60: f1 is_FinSequence_on Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)),p0
proof
let i be Element of NAT ; :: according to SCPISORT:def 1 :: thesis: ( 1 <= i & i <= len f1 implies f1 . i = (Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) . (intpos (p0 + i)) )
assume ( 1 <= i & i <= len f1 ) ; :: thesis: f1 . i = (Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) . (intpos (p0 + i))
then f1 . i = (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) by A48, Def1;
hence f1 . i = (Initialize (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t))) . (intpos (p0 + i)) by SCMPDS_5:40; :: thesis: verum
end;
A61: (IExec (((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))),Q,t)) . GBP = 0 by A13, Lm11, A22, A24;
then A62: f1,h are_fiberwise_equipotent by A14, A16, A17, A20, A31, A51, A40, A49, A54, A50, Th17, A29, A30, A53, A28, A60;
A63: h is_non_decreasing_on 1,m + 1 by A14, A16, A17, A20, A31, A51, A40, A49, A54, A50, Th17, A29, A30, A53, A28, A60, A61;
then h,f2 are_fiberwise_equipotent by A12, A15, A16, A21, A51, A33, A37, A35, A38, A59, A42;
hence f1,f2 are_fiberwise_equipotent by A62, CLASSES1:84; :: thesis: f2 is_non_decreasing_on 1,n
thus f2 is_non_decreasing_on 1,n by A12, A15, A16, A21, A51, A63, A33, A37, A35, A38, A59, A42; :: thesis: verum
end;
hence S1[k + 1] ; :: thesis: verum
end;
A64: S1[ 0 ]
proof
let t be State of SCMPDS; :: thesis: for Q being the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT
for f1, f2 being FinSequence of INT
for m being Element of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = 0 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
let Q be the Instructions of SCMPDS -valued ManySortedSet of NAT ; :: thesis: for f1, f2 being FinSequence of INT
for m being Element of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = 0 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
let f1, f2 be FinSequence of INT ; :: thesis: for m being Element of NAT st t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = 0 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n holds
( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
let m be Element of NAT ; :: thesis: ( t . GBP = 0 & (t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 & t . (intpos 2) = 0 & m = n - (t . (intpos 2)) & p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 & f1 is_FinSequence_on t,p0 & f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 & f1 is_non_decreasing_on 1,m & len f1 = n & len f2 = n implies ( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n ) )
assume that
A65: t . GBP = 0 and
(t . (intpos 2)) + (t . (intpos 1)) = n - 1 and
A66: t . (intpos 2) = 0 and
A67: m = n - (t . (intpos 2)) and
p0 = ((t . (intpos 3)) - (t . (intpos 1))) - 1 and
A68: f1 is_FinSequence_on t,p0 and
A69: f2 is_FinSequence_on IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t),p0 and
A70: f1 is_non_decreasing_on 1,m and
A71: ( len f1 = n & len f2 = n ) ; :: thesis: ( f1,f2 are_fiberwise_equipotent & f2 is_non_decreasing_on 1,n )
A72: t . (DataLoc ((t . GBP),2)) = 0 by A65, A66, SCMP_GCD:5;
A73: now
let i be Nat; :: thesis: ( 1 <= i & i <= len f2 implies f2 . i = f1 . i )
assume A74: ( 1 <= i & i <= len f2 ) ; :: thesis: f2 . i = f1 . i
A75: i in NAT by ORDINAL1:def 13;
hence f2 . i = (IExec ((for-down (GBP,2,1,(((((AddTo (GBP,3,1)) ';' ((GBP,4) := (GBP,3))) ';' (AddTo (GBP,1,1))) ';' ((GBP,6) := (GBP,1))) ';' (while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))))))),Q,t)) . (intpos (p0 + i)) by A69, A74, Def1
.= t . (intpos (p0 + i)) by A72, SCMPDS_7:66
.= f1 . i by A68, A71, A75, A74, Def1 ;
:: thesis: verum
end;
hence f1,f2 are_fiberwise_equipotent by A71, FINSEQ_1:18; :: thesis: f2 is_non_decreasing_on 1,n
thus f2 is_non_decreasing_on 1,n by A66, A67, A70, A71, A73, FINSEQ_1:18; :: thesis: verum
end;
for k being Element of NAT holds S1[k] from NAT_1:sch 1(A64, A11);
then A76: S1[n1] ;
 ( p0 = ((s . (intpos 3)) - (s . (intpos 1))) - 1 & f is_non_decreasing_on 1,1 ) by A3, A4, GRAPH_2:67;
hence ( f,g are_fiberwise_equipotent & g is_non_decreasing_on 1,n ) by A1, A6, A7, A8, A10, A76; :: thesis: verum
end;
end;