let s be 0 -started State of SCMPDS; ( s . (intpos 4) >= 7 + (s . (DataLoc ((s . GBP),6))) & s . GBP = 0 implies ( while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))) is_closed_on s & while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))) is_halting_on s ) )
set a = GBP ;
set b = DataLoc ((s . GBP),6);
assume that
A1:
s . (intpos 4) >= 7 + (s . (DataLoc ((s . GBP),6)))
and
A2:
s . GBP = 0
; ( while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))) is_closed_on s & while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))) is_halting_on s )
A3:
DataLoc ((s . GBP),6) = intpos (0 + 6)
by A2, SCMP_GCD:5;
A4:
now let t be
State of
SCMPDS;
( ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
t . x >= 7 + (t . (DataLoc ((s . GBP),6))) ) & t . GBP = s . GBP & t . (DataLoc ((s . GBP),6)) > 0 implies ( (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . GBP = t . GBP & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_closed_on t & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_halting_on t & (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)) < t . (DataLoc ((s . GBP),6)) & ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6))) ) ) )assume that A5:
for
x being
Int_position st
x in {(intpos 4)} holds
t . x >= 7
+ (t . (DataLoc ((s . GBP),6)))
and A6:
(
t . GBP = s . GBP &
t . (DataLoc ((s . GBP),6)) > 0 )
;
( (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . GBP = t . GBP & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_closed_on t & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_halting_on t & (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)) < t . (DataLoc ((s . GBP),6)) & ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6))) ) )set Bt =
IExec (
((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),
t);
X1:
IExec (
((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),
t)
= IExec (
((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),
(Initialize t))
by SCMPDS_5:48;
X2:
t . (DataLoc ((s . GBP),6)) = (Initialize t) . (DataLoc ((s . GBP),6))
by SCMPDS_5:40;
X3:
t . GBP = (Initialize t) . GBP
by SCMPDS_5:40;
X4:
t . (intpos 4) = (Initialize t) . (intpos 4)
by SCMPDS_5:40;
A7:
intpos 4
in {(intpos 4)}
by TARSKI:def 1;
then A8:
t . (intpos 4) >= 7
+ (t . (intpos 6))
by A3, A5;
hence
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . GBP = t . GBP
by A2, A3, A6, Lm7, X1, X2, X3, X4;
( (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_closed_on t & (((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_halting_on t & (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)) < t . (DataLoc ((s . GBP),6)) & ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6))) ) )thus
(
(((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_closed_on t &
(((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))) is_halting_on t )
by SCMPDS_6:34, SCMPDS_6:35;
( (IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)) < t . (DataLoc ((s . GBP),6)) & ( for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6))) ) )thus
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)) < t . (DataLoc ((s . GBP),6))
by A2, A3, A6, A8, Lm8, X1, X2, X3, X4;
for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . x >= 7 + ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)))
t . (intpos 4) >= 7
+ (t . (DataLoc ((s . GBP),6)))
by A5, A7;
then
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (intpos 4) >= 7
+ ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (intpos 6))
by A2, A3, A6, Lm8, X1, X2, X3, X4;
hence
for
x being
Int_position st
x in {(intpos 4)} holds
(IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . x >= 7
+ ((IExec (((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0))))),t)) . (DataLoc ((s . GBP),6)))
by A3, TARSKI:def 1;
verum end;
for x being Int_position st x in {(intpos 4)} holds
s . x >= 7 + (s . (DataLoc ((s . GBP),6)))
by A1, TARSKI:def 1;
hence
( while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))) is_closed_on s & while>0 (GBP,6,((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (SubFrom (GBP,5,(intpos 4),0))) ';' (if>0 (GBP,5,((((((GBP,5) := ((intpos 4),(- 1))) ';' (((intpos 4),(- 1)) := ((intpos 4),0))) ';' (((intpos 4),0) := (GBP,5))) ';' (AddTo (GBP,4,(- 1)))) ';' (AddTo (GBP,6,(- 1)))),(Load ((GBP,6) := 0)))))) is_halting_on s )
by A4, Lm5, SCMPDS_8:29; verum