let s be State of SCM+FSA ; ( s . (fsloc 0 ),(IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) )
set WJ = (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ));
set s0 = Initialized s;
set s1 = Exec ((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )),(Initialized s);
set s2 = IExec (((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))),s;
set s3 = IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))),s;
set s4 = IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))),s;
set s5 = IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))),s;
set s6 = IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s;
set s7 = IExec ((((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),s;
A1: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 ) =
(Exec ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 )),(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))),s)) . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:8
.=
(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 )
by SCMFSA_2:89
.=
(Exec ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 )),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))),s)) . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:8
.=
(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 )
by SCMFSA_2:89
.=
(Exec ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 )),(IExec (((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))),s)) . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:8
.=
(IExec (((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 )
by SCMFSA_2:89
.=
(Exec ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 )),(Exec ((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )),(Initialized s))) . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:10
.=
(Exec ((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )),(Initialized s)) . (fsloc 0 )
by SCMFSA_2:89
.=
(Initialized s) . (fsloc 0 )
by SCMFSA_2:89
.=
s . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:3
;
A2: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s) . (fsloc 0 ) =
(Exec ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 )),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))),s)) . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:8
.=
s . (fsloc 0 )
by A1, SCMFSA_2:100
;
A3: (IExec ((((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 ) =
(Exec (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 )),(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s)) . (fsloc 0 )
by SCMFSA6C:8
.=
s . (fsloc 0 )
by A2, SCMFSA_2:91
;
A4:
(IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 ) = (IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((((((intloc (1 + 1)) :=len (fsloc 0 )) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc (0 + 1)))) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc (1 + 1)))) ';' (AddTo (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (3 + 1)),(intloc (3 + 1)))) ';' (while>0 (intloc (1 + 1)),((((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (1 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (4 + 1)),(intloc (5 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (4 + 1)),(Macro (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc (1 + 1)))),((AddTo (intloc (3 + 1)),(intloc 0 )) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))))))) ';' (Times (intloc (3 + 1)),(((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (1 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (1 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (4 + 1))))))),(IExec ((((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),s)) . (fsloc 0 )
by Lm12, SCM_HALT:31;
A5: (IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s) . (intloc (0 + 1)) =
(Exec ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 )),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))),s)) . (intloc (0 + 1))
by SCMFSA6C:7
.=
len ((IExec ((((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 ))
by A1, A3, SCMFSA_2:100
;
A6: (IExec ((((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),s) . (intloc (0 + 1)) =
(Exec (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 )),(IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s)) . (intloc (0 + 1))
by SCMFSA6C:7
.=
((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s) . (intloc (0 + 1))) - ((IExec (((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),s) . (intloc 0 ))
by SCMFSA_2:91
.=
(len ((IExec ((((((((intloc (1 + 1)) := (intloc 0 )) ';' ((intloc (2 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (3 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (intloc 0 ))) ';' ((intloc (0 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),s) . (fsloc 0 ))) - 1
by A5, SCM_HALT:17
;
hence
s . (fsloc 0 ),(IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent
by A3, A4, Lm21; for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2
let i, j be Element of NAT ; ( i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j implies for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 )
assume that
A7:
i >= 1
and
A8:
j <= len (s . (fsloc 0 ))
and
A9:
i < j
; for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2
thus
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (insert-sort (fsloc 0 )),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2
by A3, A6, A4, A7, A8, A9, Lm21; verum