let z1 be quaternion number ; :: thesis: (<j> * z1) - (z1 * <j> ) = [*0 ,(2 * (Im3 z1)),0 ,(- (2 * (Im1 z1)))*]
set z = <j> ;
A1: <j> * z1 = [*(- (Im2 z1)),(Im3 z1),(Rea z1),(- (Im1 z1))*] by QUATERN2:1, QUATERNI:31;
then A2: ( Im2 (<j> * z1) = Rea z1 & Im3 (<j> * z1) = - (Im1 z1) ) by QUATERNI:23;
A3: z1 * <j> = [*(- (Im2 z1)),(- (Im3 z1)),(Rea z1),(Im1 z1)*] by QUATERN2:1, QUATERNI:31;
then A4: ( Rea (z1 * <j> ) = - (Im2 z1) & Im1 (z1 * <j> ) = - (Im3 z1) ) by QUATERNI:23;
A5: ( Im2 (z1 * <j> ) = Rea z1 & Im3 (z1 * <j> ) = Im1 z1 ) by A3, QUATERNI:23;
( Rea (<j> * z1) = - (Im2 z1) & Im1 (<j> * z1) = Im3 z1 ) by A1, QUATERNI:23;
hence (<j> * z1) - (z1 * <j> ) = [*0 ,(2 * (Im3 z1)),0 ,(- (2 * (Im1 z1)))*] by A2, A4, A5, QUATERN2:1; :: thesis: verum