let z1 be quaternion number ; :: thesis: (<i> * z1) - (z1 * <i> ) = [*0 ,0 ,(- (2 * (Im3 z1))),(2 * (Im2 z1))*]
set z = <i> ;
A1: <i> * z1 = [*(- (Im1 z1)),(Rea z1),(- (Im3 z1)),(Im2 z1)*] by QUATERN2:1, QUATERNI:30;
then A2: ( Im2 (<i> * z1) = - (Im3 z1) & Im3 (<i> * z1) = Im2 z1 ) by QUATERNI:23;
A3: z1 * <i> = [*(- (Im1 z1)),(Rea z1),(Im3 z1),(- (Im2 z1))*] by QUATERN2:1, QUATERNI:30;
then A4: ( Rea (z1 * <i> ) = - (Im1 z1) & Im1 (z1 * <i> ) = Rea z1 ) by QUATERNI:23;
A5: ( Im2 (z1 * <i> ) = Im3 z1 & Im3 (z1 * <i> ) = - (Im2 z1) ) by A3, QUATERNI:23;
( Rea (<i> * z1) = - (Im1 z1) & Im1 (<i> * z1) = Rea z1 ) by A1, QUATERNI:23;
hence (<i> * z1) - (z1 * <i> ) = [*0 ,0 ,(- (2 * (Im3 z1))),(2 * (Im2 z1))*] by A2, A4, A5, QUATERN2:1; :: thesis: verum