let z1, z2 be quaternion number ; (z1 * z2) *' = (z2 *' ) * (z1 *' )
A1:
( Rea (z2 *' ) = Rea z2 & Im1 (z2 *' ) = - (Im1 z2) )
by QUATERNI:44;
A2:
( Im2 (z2 *' ) = - (Im2 z2) & Im3 (z2 *' ) = - (Im3 z2) )
by QUATERNI:44;
A3:
z1 * z2 = [*(((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))),(((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2))),(((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2))),(((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)))*]
by QUATERN2:1;
then A4:
Rea (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))
by QUATERNI:23;
A5:
Im3 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2))
by A3, QUATERNI:23;
A6:
( Im2 (z1 *' ) = - (Im2 z1) & Im3 (z1 *' ) = - (Im3 z1) )
by QUATERNI:44;
A7:
( Rea (z1 *' ) = Rea z1 & Im1 (z1 *' ) = - (Im1 z1) )
by QUATERNI:44;
A8:
Im2 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2))
by A3, QUATERNI:23;
A9:
Im1 (z1 * z2) = ((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2))
by A3, QUATERNI:23;
(z1 * z2) *' =
(((Rea ((z1 * z2) *' )) + ((Im1 ((z1 * z2) *' )) * <i> )) + ((Im2 ((z1 * z2) *' )) * <j> )) + ((Im3 ((z1 * z2) *' )) * <k> )
by QUATERNI:37
.=
(((((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))) + ((Im1 ((z1 * z2) *' )) * <i> )) + ((Im2 ((z1 * z2) *' )) * <j> )) + ((Im3 ((z1 * z2) *' )) * <k> )
by A4, QUATERNI:44
.=
(((((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))) + ((- (((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)))) * <i> )) + ((Im2 ((z1 * z2) *' )) * <j> )) + ((Im3 ((z1 * z2) *' )) * <k> )
by A9, QUATERNI:44
.=
(((((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))) + ((- (((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)))) * <i> )) + ((- (((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)))) * <j> )) + ((Im3 ((z1 * z2) *' )) * <k> )
by A8, QUATERNI:44
.=
(((((((Rea z1) * (Rea z2)) - ((Im1 z1) * (Im1 z2))) - ((Im2 z1) * (Im2 z2))) - ((Im3 z1) * (Im3 z2))) + ((- (((((Rea z1) * (Im1 z2)) + ((Im1 z1) * (Rea z2))) + ((Im2 z1) * (Im3 z2))) - ((Im3 z1) * (Im2 z2)))) * <i> )) + ((- (((((Rea z1) * (Im2 z2)) + ((Im2 z1) * (Rea z2))) + ((Im3 z1) * (Im1 z2))) - ((Im1 z1) * (Im3 z2)))) * <j> )) + ((- (((((Rea z1) * (Im3 z2)) + ((Im3 z1) * (Rea z2))) + ((Im1 z1) * (Im2 z2))) - ((Im2 z1) * (Im1 z2)))) * <k> )
by A5, QUATERNI:44
;
hence
(z1 * z2) *' = (z2 *' ) * (z1 *' )
by A1, A2, A7, A6; verum