let z, z1 be quaternion number ; :: thesis: ( z is Real implies (z * z1) *' = (z *' ) * (z1 *' ) )
A1: ( Im1 (z1 *' ) = - (Im1 z1) & Im2 (z1 *' ) = - (Im2 z1) ) by QUATERNI:44;
A2: ( Im3 (z1 *' ) = - (Im3 z1) & Rea (z *' ) = Rea z ) by QUATERNI:44;
A3: z * z1 = [*(((((Rea z) * (Rea z1)) - ((Im1 z) * (Im1 z1))) - ((Im2 z) * (Im2 z1))) - ((Im3 z) * (Im3 z1))),(((((Rea z) * (Im1 z1)) + ((Im1 z) * (Rea z1))) + ((Im2 z) * (Im3 z1))) - ((Im3 z) * (Im2 z1))),(((((Rea z) * (Im2 z1)) + ((Im2 z) * (Rea z1))) + ((Im3 z) * (Im1 z1))) - ((Im1 z) * (Im3 z1))),(((((Rea z) * (Im3 z1)) + ((Im3 z) * (Rea z1))) + ((Im1 z) * (Im2 z1))) - ((Im2 z) * (Im1 z1)))*] by QUATERN2:1;
then A4: Rea (z * z1) = ((((Rea z) * (Rea z1)) - ((Im1 z) * (Im1 z1))) - ((Im2 z) * (Im2 z1))) - ((Im3 z) * (Im3 z1)) by QUATERNI:23;
assume A5: z is Real ; :: thesis: (z * z1) *' = (z *' ) * (z1 *' )
then reconsider x = z as Real ;
A6: ( Im1 z = 0 & Im2 z = 0 ) by A5, Lm2;
A7: Im3 z = 0 by A5, Lm2;
A8: Im3 (z *' ) = - (Im3 z) by QUATERNI:44;
A9: ( Im1 (z *' ) = - (Im1 z) & Im2 (z *' ) = - (Im2 z) ) by QUATERNI:44;
A10: Im3 (z * z1) = ((((Rea z) * (Im3 z1)) + ((Im3 z) * (Rea z1))) + ((Im1 z) * (Im2 z1))) - ((Im2 z) * (Im1 z1)) by A3, QUATERNI:23;
A11: Im2 (z * z1) = ((((Rea z) * (Im2 z1)) + ((Im2 z) * (Rea z1))) + ((Im3 z) * (Im1 z1))) - ((Im1 z) * (Im3 z1)) by A3, QUATERNI:23;
A12: Im1 (z * z1) = ((((Rea z) * (Im1 z1)) + ((Im1 z) * (Rea z1))) + ((Im2 z) * (Im3 z1))) - ((Im3 z) * (Im2 z1)) by A3, QUATERNI:23;
(z * z1) *' = (((Rea ((z * z1) *' )) + ((Im1 ((z * z1) *' )) * <i> )) + ((Im2 ((z * z1) *' )) * <j> )) + ((Im3 ((z * z1) *' )) * <k> ) by QUATERNI:37
.= (((((((Rea z) * (Rea z1)) - ((Im1 z) * (Im1 z1))) - ((Im2 z) * (Im2 z1))) - ((Im3 z) * (Im3 z1))) + ((Im1 ((z * z1) *' )) * <i> )) + ((Im2 ((z * z1) *' )) * <j> )) + ((Im3 ((z * z1) *' )) * <k> ) by A4, QUATERNI:44
.= (((((((Rea z) * (Rea z1)) - ((Im1 z) * (Im1 z1))) - ((Im2 z) * (Im2 z1))) - ((Im3 z) * (Im3 z1))) + ((- (((((Rea z) * (Im1 z1)) + ((Im1 z) * (Rea z1))) + ((Im2 z) * (Im3 z1))) - ((Im3 z) * (Im2 z1)))) * <i> )) + ((Im2 ((z * z1) *' )) * <j> )) + ((Im3 ((z * z1) *' )) * <k> ) by A12, QUATERNI:44
.= (((((((Rea z) * (Rea z1)) - ((Im1 z) * (Im1 z1))) - ((Im2 z) * (Im2 z1))) - ((Im3 z) * (Im3 z1))) + ((- (((((Rea z) * (Im1 z1)) + ((Im1 z) * (Rea z1))) + ((Im2 z) * (Im3 z1))) - ((Im3 z) * (Im2 z1)))) * <i> )) + ((- (((((Rea z) * (Im2 z1)) + ((Im2 z) * (Rea z1))) + ((Im3 z) * (Im1 z1))) - ((Im1 z) * (Im3 z1)))) * <j> )) + ((Im3 ((z * z1) *' )) * <k> ) by A11, QUATERNI:44
.= (((((((Rea z) * (Rea z1)) - ((Im1 z) * (Im1 z1))) - ((Im2 z) * (Im2 z1))) - ((Im3 z) * (Im3 z1))) + ((- (((((Rea z) * (Im1 z1)) + ((Im1 z) * (Rea z1))) + ((Im2 z) * (Im3 z1))) - ((Im3 z) * (Im2 z1)))) * <i> )) + ((- (((((Rea z) * (Im2 z1)) + ((Im2 z) * (Rea z1))) + ((Im3 z) * (Im1 z1))) - ((Im1 z) * (Im3 z1)))) * <j> )) + ((- (((((Rea z) * (Im3 z1)) + ((Im3 z) * (Rea z1))) + ((Im1 z) * (Im2 z1))) - ((Im2 z) * (Im1 z1)))) * <k> ) by A10, QUATERNI:44 ;
hence (z * z1) *' = (z *' ) * (z1 *' ) by A6, A7, A1, A2, A9, A8, QUATERNI:44; :: thesis: verum