let M be non empty set ; :: thesis: for V being ComplexNormSpace
for f2 being PartFunc of M,the carrier of V
for z being Complex
for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = (z (#) f1) (#) f2
let V be ComplexNormSpace; :: thesis: for f2 being PartFunc of M,the carrier of V
for z being Complex
for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = (z (#) f1) (#) f2
let f2 be PartFunc of M,the carrier of V; :: thesis: for z being Complex
for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = (z (#) f1) (#) f2
let z be Complex; :: thesis: for f1 being PartFunc of M,COMPLEX holds z (#) (f1 (#) f2) = (z (#) f1) (#) f2
let f1 be PartFunc of M,COMPLEX ; :: thesis: z (#) (f1 (#) f2) = (z (#) f1) (#) f2
A1: dom (f1 (#) f2) = (dom f1) /\ (dom f2) by Def3;
A2: dom (z (#) (f1 (#) f2)) = dom (f1 (#) f2) by Def4
.= (dom (z (#) f1)) /\ (dom f2) by A1, VALUED_1:def 5
.= dom ((z (#) f1) (#) f2) by Def3 ;

now

let x be Element of M; :: thesis: ( x in dom (z (#) (f1 (#) f2)) implies (z (#) (f1 (#) f2)) /. x = ((z (#) f1) (#) f2) /. x )
assume A3: x in dom (z (#) (f1 (#) f2)) ; :: thesis: (z (#) (f1 (#) f2)) /. x = ((z (#) f1) (#) f2) /. x
then x in (dom (z (#) f1)) /\ (dom f2) by A2, Def3;
then x in dom (z (#) f1) by XBOOLE_0:def 4;
then A4: (z (#) f1) /. x = (z (#) f1) . x by PARTFUN1:def 8;
A5: x in dom (f1 (#) f2) by A3, Def4;
then x in dom f1 by A1, XBOOLE_0:def 4;
then A6: f1 /. x = f1 . x by PARTFUN1:def 8;
thus (z (#) (f1 (#) f2)) /. x = z * ((f1 (#) f2) /. x) by A3, Def4
.= z * ((f1 /. x) * (f2 /. x)) by A5, Def3
.= (z * (f1 /. x)) * (f2 /. x) by CLVECT_1:def 4, CLVECT_1:def 5
.= ((z (#) f1) /. x) * (f2 /. x) by A4, A6, VALUED_1:6
.= ((z (#) f1) (#) f2) /. x by A2, A3, Def3 ; :: thesis: verum

end;

hence z (#) (f1 (#) f2) = (z (#) f1) (#) f2 by A2, PARTFUN2:3; :: thesis: verum