let s be State of SCM+FSA ; :: thesis: ( s . (intloc (0 + 1)) = len (s . (fsloc 0 )) implies ( s . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) ) )
assume A1: s . (intloc (0 + 1)) = len (s . (fsloc 0 )) ; :: thesis: ( s . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) )

per cases ( len (s . (fsloc 0 )) = 0 or len (s . (fsloc 0 )) <> 0 ) ;

suppose A2: len (s . (fsloc 0 )) = 0 ; :: thesis: ( s . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) )

hence s . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent by A1, Lm23, SCM_HALT:80; :: thesis: for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2
thus for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 by A2; :: thesis: verum

end;

suppose A3: len (s . (fsloc 0 )) <> 0 ; :: thesis: ( s . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) )

defpred S₁[ Nat] means for t being State of SCM+FSA st t . (intloc (0 + 1)) = $1 + 1 & t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0 )) holds
( t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - $1 & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - $1 & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - $1 & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - $1 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) );
set B11 = SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 );
A4: S₁[ 0 ]

proof

let t be State of SCM+FSA ; :: thesis: ( t . (intloc (0 + 1)) = 0 + 1 & t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0 )) implies ( t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) ) )
assume that
A5: t . (intloc (0 + 1)) = 0 + 1 and
t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0 )) ; :: thesis: ( t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) )
set IB = IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t;
A6: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (intloc (0 + 1)) = 1 - 1 by A5, Lm23, Lm25, SCM_HALT:79;
A7: (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (1 + 1)) = 1 - 1 by A5, Lm32;
A8: (IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) = (IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 ) by A5, Lm23, Lm25, SCM_HALT:82
.= (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ) by A6, Lm23, SCM_HALT:80
.= (Exec (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 )),(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t)) . (fsloc 0 ) by Lm23, SCM_HALT:34
.= (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t) . (fsloc 0 ) by SCMFSA_2:91
.= (IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 ) by Lm23, SCM_HALT:31
.= (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ) by A7, SCM_HALT:80
.= t . (fsloc 0 ) by Lm32 ;
hence t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent ; :: thesis: ( ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) )
thus for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 by XXREAL_0:2; :: thesis: ( ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) )
thus for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i by A8; :: thesis: for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
let i be Element of NAT ; :: thesis: ( i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & i <= len (t . (fsloc 0 )) implies ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) )
assume that
A9: i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 and
A10: i <= len (t . (fsloc 0 )) ; :: thesis: ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
take n = i; :: thesis: ( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
thus ( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - 0 & n <= len (t . (fsloc 0 )) ) by A9, A10; :: thesis: ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n
thus ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n by A8; :: thesis: verum

end;

A11: now

let k be Element of NAT ; :: thesis: ( S₁[k] implies S₁[k + 1] )
assume A12: S₁[k] ; :: thesis: S₁[k + 1]

now

let t be State of SCM+FSA ; :: thesis: ( t . (intloc (0 + 1)) = (k + 1) + 1 & t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0 )) implies ( t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) ) )
set t1 = IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t;
set IB = IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t;
set t2 = IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t);
assume that
A13: t . (intloc (0 + 1)) = (k + 1) + 1 and
A14: t . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0 )) ; :: thesis: ( t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent & ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) )
A15: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (intloc (0 + 1)) = (Exec (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 )),(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t)) . (intloc (0 + 1)) by Lm23, SCM_HALT:33
.= ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t) . (intloc (0 + 1))) - ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t) . (intloc 0 )) by SCMFSA_2:91
.= ((IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t) . (intloc (0 + 1))) - 1 by Lm23, SCM_HALT:17
.= ((Initialize t) . (intloc (0 + 1))) - 1 by Lm23, Lm25, SCM_HALT:63
.= ((k + 1) + 1) - 1 by A13, SCMFSA6C:3
.= k + 1 ;
then (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (intloc (0 + 1)) < t . (intloc (0 + 1)) by A13, XREAL_1:31;
then A16: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (intloc (0 + 1)) <= len (t . (fsloc 0 )) by A14, XXREAL_0:2;
set Ts = IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t;
A17: (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (1 + 1)) = ((k + 1) + 1) - 1 by A13, Lm32
.= k + 1 ;
A18: (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1)) = len (t . (fsloc 0 )) by Lm32;
then A19: (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1)) = len ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) by Lm32;
A20: k + 1 < (k + 1) + 1 by XREAL_1:31;
A21: k + 1 < t . (intloc (0 + 1)) by A13, XREAL_1:31;
A22: k + 1 < len (t . (fsloc 0 )) by A13, A14, A20, XXREAL_0:2;
A23: k + 1 < (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1)) by A14, A18, A21, XXREAL_0:2;
A24: (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent by A17, A18, A19, A22, Lm31;
A25: (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ) = t . (fsloc 0 ) by Lm32;
A26: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ) = (Exec (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 )),(IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t)) . (fsloc 0 ) by Lm23, SCM_HALT:34
.= (IExec (((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))),t) . (fsloc 0 ) by SCMFSA_2:91
.= (IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 ) by Lm23, SCM_HALT:31 ;
then A27: t . (fsloc 0 ),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent by A17, A18, A23, A25, Lm31;
A28: len (t . (fsloc 0 )) = len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) by A24, A25, A26, RFINSEQ:16;
A29: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (intloc (0 + 1)) <= len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) by A16, A27, RFINSEQ:16;
A30: (IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent by A12, A15, A16, A28;
A31: (IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) = (IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 ) by A13, Lm23, Lm25, SCM_HALT:82;
hence t . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent by A27, A30, CLASSES1:84; :: thesis: ( ( for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 ) & ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) )
set lk = (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1);
A32: ((len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1)) + 1 = (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A28;
thus for i, j being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 :: thesis: ( ( for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i ) & ( for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) ) )

proof

let i, j be Element of NAT ; :: thesis: ( i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & j <= len (t . (fsloc 0 )) & i < j implies for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 )
assume that
A33: i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) and
A34: j <= len (t . (fsloc 0 )) and
A35: i < j ; :: thesis: for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2
j > (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) by A33, A35, XXREAL_0:2;
then j >= (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A32, INT_1:20;
then consider n being Element of NAT such that
A36: n >= (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k and
A37: n <= len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) and
A38: ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 )) . j = ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) . n by A12, A15, A16, A28, A34;
(len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) < ((len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1)) + 1 by XREAL_1:31;
then A39: n >= ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A18, A28, A36, XXREAL_0:2;
A40: n <= (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1)) by A28, A37, Lm32;

hereby :: thesis: verum

let x1, x2 be Integer; :: thesis: ( x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j implies b₁ >= b₂ )
assume that
A41: x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i and
A42: x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . j ; :: thesis: b₁ >= b₂

per cases ( i = (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) or i <> (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) ) ;

suppose A43: i = (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) ; :: thesis: b₁ >= b₂

A44: ex y1, y2 being Integer st
( y1 = ((IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 )) . (((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1)) & y2 = ((IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 )) . n & y1 >= y2 ) by A17, A19, A23, A39, A40, Lm31;
A45: i < (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A32, A43, XREAL_1:31;
A46: 1 <= i by A13, A14, A43, XREAL_1:21;
i = ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A43, Lm32;
hence x1 >= x2 by A12, A15, A16, A26, A28, A31, A38, A41, A42, A44, A45, A46; :: thesis: verum

end;

suppose i <> (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) ; :: thesis: b₁ >= b₂

then i > (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) by A33, XXREAL_0:1;
then i >= (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A32, INT_1:20;
hence x1 >= x2 by A12, A15, A16, A28, A31, A34, A35, A41, A42; :: thesis: verum

end;

end;

end;

end;

thus for i being Element of NAT st i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i >= 1 holds
((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i :: thesis: for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )

proof

let i be Element of NAT ; :: thesis: ( i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i >= 1 implies ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i )
assume that
A47: i < (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) and
A48: i >= 1 ; :: thesis: ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . i
(len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) < ((len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1)) + 1 by XREAL_1:31;
then i < (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A28, A47, XXREAL_0:2;
hence ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) . i by A12, A15, A29, A31, A48
.= (t . (fsloc 0 )) . i by A17, A18, A23, A25, A26, A47, A48, Lm31 ;
:: thesis: verum

end;

thus for i being Element of NAT st i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) holds
ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) :: thesis: verum

proof

let i be Element of NAT ; :: thesis: ( i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & i <= len (t . (fsloc 0 )) implies ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n ) )
assume that
A49: i >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) and
A50: i <= len (t . (fsloc 0 )) ; :: thesis: ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )

per cases ( i = (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) or i <> (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) ) ;

suppose A51: i = (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) ; :: thesis: ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )

then A52: i < (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A32, XREAL_1:31;
A53: i >= 1 by A13, A14, A51, XREAL_1:21;
consider n being Element of NAT such that
A54: n >= ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) and
A55: n <= (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1)) and
A56: ((IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 )) . i = ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) . n by A17, A18, A19, A22, A49, A50, Lm31;
take n ; :: thesis: ( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
thus n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) by A54, Lm32; :: thesis: ( n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
thus n <= len (t . (fsloc 0 )) by A55, Lm32; :: thesis: ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n
thus ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n by A12, A15, A25, A26, A29, A31, A52, A53, A56; :: thesis: verum

end;

suppose i <> (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) ; :: thesis: ex n being Element of NAT st
( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )

then i > (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) by A49, XXREAL_0:1;
then i >= (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k by A32, INT_1:20;
then consider m being Element of NAT such that
A57: m >= (len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 ))) - k and
A58: m <= len ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) and
A59: ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),(IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 )) . i = ((IExec ((((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA ))))) ';' (SubFrom (intloc (0 + 1)),(intloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) . m by A12, A15, A16, A28, A50;
((len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1)) + 1 > (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) by XREAL_1:31;
then m > ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) by A18, A28, A57, XXREAL_0:2;
then consider n being Element of NAT such that
A60: n >= ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1))) - (k + 1) and
A61: n <= (IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (intloc (2 + 1)) and
A62: ((IExec (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))),(IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t)) . (fsloc 0 )) . m = ((IExec ((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))),t) . (fsloc 0 )) . n by A17, A18, A19, A22, A28, A58, Lm31;
take n ; :: thesis: ( n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) & n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
thus n >= (len (t . (fsloc 0 ))) - (k + 1) by A60, Lm32; :: thesis: ( n <= len (t . (fsloc 0 )) & ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n )
thus n <= len (t . (fsloc 0 )) by A61, Lm32; :: thesis: ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n
thus ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),t) . (fsloc 0 )) . i = (t . (fsloc 0 )) . n by A26, A31, A59, A62, Lm32; :: thesis: verum

end;

end;

end;

end;

hence S₁[k + 1] ; :: thesis: verum

end;

A63: for k being Element of NAT holds S₁[k] from NAT_1:sch 1(A4, A11);
s . (intloc (0 + 1)) >= 1 + 0 by A1, A3, INT_1:20;
then reconsider m = (s . (intloc (0 + 1))) - 1 as Element of NAT by INT_1:18;
A64: m + 1 = s . (intloc (0 + 1)) ;
hence s . (fsloc 0 ),(IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 ) are_fiberwise_equipotent by A1, A63; :: thesis: for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2
(len (s . (fsloc 0 ))) - m = 1 by A1;
hence for i, j being Element of NAT st i >= 1 & j <= len (s . (fsloc 0 )) & i < j holds
for x1, x2 being Integer st x1 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . i & x2 = ((IExec (Times (intloc (0 + 1)),(((((intloc (1 + 1)) := (intloc (0 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (1 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (2 + 1)) :=len (fsloc 0 ))) ';' (Times (intloc (1 + 1)),(((((((intloc (3 + 1)) := (intloc (2 + 1))) ';' (SubFrom (intloc (2 + 1)),(intloc 0 ))) ';' ((intloc (4 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)))) ';' ((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)))) ';' (SubFrom (intloc (5 + 1)),(intloc (4 + 1)))) ';' (if>0 (intloc (5 + 1)),((((intloc (5 + 1)) := (fsloc 0 ),(intloc (3 + 1))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (2 + 1)) := (intloc (5 + 1)))) ';' ((fsloc 0 ),(intloc (3 + 1)) := (intloc (4 + 1)))),(Stop SCM+FSA )))))),s) . (fsloc 0 )) . j holds
x1 >= x2 by A63, A64; :: thesis: verum

end;

end;