let x be set ; :: thesis: for R1, R2 being Relation holds Im (R1 \ R2),x = (Im R1,x) \ (Im R2,x)
let R1, R2 be Relation; :: thesis: Im (R1 \ R2),x = (Im R1,x) \ (Im R2,x)
thus Im (R1 \ R2),x c= (Im R1,x) \ (Im R2,x) :: according to XBOOLE_0:def 10 :: thesis: (Im R1,x) \ (Im R2,x) c= Im (R1 \ R2),x

proof

let y be set ; :: according to TARSKI:def 3 :: thesis: ( not y in Im (R1 \ R2),x or y in (Im R1,x) \ (Im R2,x) )
assume y in Im (R1 \ R2),x ; :: thesis: y in (Im R1,x) \ (Im R2,x)
then A1: [x,y] in R1 \ R2 by Th9;
then A2: not [x,y] in R2 by XBOOLE_0:def 5;
A3: y in Im R1,x by A1, Th9;
not y in Im R2,x by A2, Th9;
hence y in (Im R1,x) \ (Im R2,x) by A3, XBOOLE_0:def 5; :: thesis: verum

end;

let y be set ; :: according to TARSKI:def 3 :: thesis: ( not y in (Im R1,x) \ (Im R2,x) or y in Im (R1 \ R2),x )
assume A4: y in (Im R1,x) \ (Im R2,x) ; :: thesis: y in Im (R1 \ R2),x
then A5: not y in Im R2,x by XBOOLE_0:def 5;
A6: [x,y] in R1 by A4, Th9;
not [x,y] in R2 by A5, Th9;
then [x,y] in R1 \ R2 by A6, XBOOLE_0:def 5;
hence y in Im (R1 \ R2),x by Th9; :: thesis: verum