let V be RealLinearSpace; for w, y being VECTOR of V st Gen w,y holds
for u, u9, u1, u2, v1, v2, t1, t2, w1, w2 being VECTOR of V st u <> u9 & u,u9,u1,t1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,u2,t2 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v1,w1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v2,w2 are_DTr_wrt w,y & u1,u2,v1,v2 are_Ort_wrt w,y holds
t1,t2,w1,w2 are_Ort_wrt w,y
let w, y be VECTOR of V; ( Gen w,y implies for u, u9, u1, u2, v1, v2, t1, t2, w1, w2 being VECTOR of V st u <> u9 & u,u9,u1,t1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,u2,t2 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v1,w1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v2,w2 are_DTr_wrt w,y & u1,u2,v1,v2 are_Ort_wrt w,y holds
t1,t2,w1,w2 are_Ort_wrt w,y )
assume A1:
Gen w,y
; for u, u9, u1, u2, v1, v2, t1, t2, w1, w2 being VECTOR of V st u <> u9 & u,u9,u1,t1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,u2,t2 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v1,w1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v2,w2 are_DTr_wrt w,y & u1,u2,v1,v2 are_Ort_wrt w,y holds
t1,t2,w1,w2 are_Ort_wrt w,y
let u, u9, u1, u2, v1, v2, t1, t2, w1, w2 be VECTOR of V; ( u <> u9 & u,u9,u1,t1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,u2,t2 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v1,w1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v2,w2 are_DTr_wrt w,y & u1,u2,v1,v2 are_Ort_wrt w,y implies t1,t2,w1,w2 are_Ort_wrt w,y )
assume that
A2:
u <> u9
and
A3:
( u,u9,u1,t1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,u2,t2 are_DTr_wrt w,y )
and
A4:
( u,u9,v1,w1 are_DTr_wrt w,y & u,u9,v2,w2 are_DTr_wrt w,y )
and
A5:
u1,u2,v1,v2 are_Ort_wrt w,y
; t1,t2,w1,w2 are_Ort_wrt w,y
set A1 = ((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " );
set A2 = ((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " );
set A3 = ((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " );
set A4 = ((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " );
( u1 + ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (u - u9)) = t1 & u2 + ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (u - u9)) = t2 )
by A1, A2, A3, Th38;
then A6:
t2 - t1 = (u2 - u1) + (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))
by A1, Lm21;
A7:
( t1 = u1 + ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (u - u9)) & t2 = u2 + ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (u - u9)) )
by A1, A2, A3, Th38;
A8:
( v1 + ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (u - u9)) = w1 & v2 + ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (u - u9)) = w2 )
by A1, A2, A4, Th38;
then
w2 - w1 = (v2 - v1) + (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))
by A1, Lm21;
then A9: PProJ w,y,(t2 - t1),(w2 - w1) =
(PProJ w,y,(u2 - u1),((v2 - v1) + (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)))) + (PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),((v2 - v1) + (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))))
by A1, A6, Th32
.=
((PProJ w,y,(u2 - u1),(v2 - v1)) + (PProJ w,y,(u2 - u1),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)))) + (PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),((v2 - v1) + (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))))
by A1, Th32
.=
(0 + (PProJ w,y,(u2 - u1),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)))) + (PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),((v2 - v1) + (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))))
by A1, A5, Th35
.=
(PProJ w,y,(u2 - u1),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))) + ((PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),(v2 - v1)) + (PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))))
by A1, Th32
;
set aa = ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u2 - u1)) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1)));
A10: PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),(v2 - v1) =
PProJ w,y,(v2 - v1),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9))
.=
(PProJ w,y,(v2 - v1),(u - u9)) * ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )))
by A1, Th33
.=
(PProJ w,y,(v2 - v1),(u - u9)) * (((- 2) * (PProJ w,y,(u - u9),(u2 - u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))
by A1, A7, Lm21
.=
(- 2) * (((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u2 - u1)) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))))
;
A11:
PProJ w,y,(u - u9),(u - u9) <> 0
by A1, A2, Th37;
A12: PProJ w,y,(u2 - u1),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)) =
(PProJ w,y,(u2 - u1),(u - u9)) * ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )))
by A1, Th33
.=
(PProJ w,y,(u2 - u1),(u - u9)) * (((- 2) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))
by A1, A8, Lm21
.=
(- 2) * (((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u2 - u1)) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))))
;
PProJ w,y,(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)) =
((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (PProJ w,y,(u - u9),(((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (u - u9)))
by A1, Th33
.=
((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)))
by A1, Th33
.=
((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * ((((- 2) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) * (PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)))
by A1, A8, Lm21
.=
((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (((- 2) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))) * (((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ) * (PProJ w,y,(u - u9),(u - u9))))
.=
((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (((- 2) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))) * 1)
by A11, XCMPLX_0:def 7
.=
((- 2) * ((((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u2))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )) - (((PProJ w,y,(u - u9),(u + u9)) - (2 * (PProJ w,y,(u - u9),u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " )))) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))
.=
((- 2) * (((- 2) * (PProJ w,y,(u - u9),(u2 - u1))) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ))) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))
by A1, A7, Lm21
.=
4 * (((PProJ w,y,(u - u9),(u - u9)) " ) * ((PProJ w,y,(u - u9),(u2 - u1)) * (PProJ w,y,(u - u9),(v2 - v1))))
;
hence
t1,t2,w1,w2 are_Ort_wrt w,y
by A1, A9, A12, A10, Th35; verum