let h, x be Real; for f1, f2 being Function of REAL ,REAL holds ((bdif (f1 (#) f2),h) . 1) . x = ((f1 . x) * (((bdif f2,h) . 1) . x)) + ((f2 . (x - h)) * (((bdif f1,h) . 1) . x))
let f1, f2 be Function of REAL ,REAL ; ((bdif (f1 (#) f2),h) . 1) . x = ((f1 . x) * (((bdif f2,h) . 1) . x)) + ((f2 . (x - h)) * (((bdif f1,h) . 1) . x))
((bdif (f1 (#) f2),h) . 1) . x =
((bdif (f1 (#) f2),h) . (0 + 1)) . x
.=
(bD ((bdif (f1 (#) f2),h) . 0 ),h) . x
by DIFF_1:def 7
.=
(bD (f1 (#) f2),h) . x
by DIFF_1:def 7
.=
((f1 (#) f2) . x) - ((f1 (#) f2) . (x - h))
by DIFF_1:4
.=
((f1 . x) * (f2 . x)) - ((f1 (#) f2) . (x - h))
by VALUED_1:5
.=
((f1 . x) * (f2 . x)) - ((f1 . (x - h)) * (f2 . (x - h)))
by VALUED_1:5
.=
((f1 . x) * ((f2 . x) - (f2 . (x - h)))) + ((f2 . (x - h)) * ((f1 . x) - (f1 . (x - h))))
.=
((f1 . x) * ((bD f2,h) . x)) + ((f2 . (x - h)) * ((f1 . x) - (f1 . (x - h))))
by DIFF_1:4
.=
((f1 . x) * ((bD f2,h) . x)) + ((f2 . (x - h)) * ((bD f1,h) . x))
by DIFF_1:4
.=
((f1 . x) * ((bD ((bdif f2,h) . 0 ),h) . x)) + ((f2 . (x - h)) * ((bD f1,h) . x))
by DIFF_1:def 7
.=
((f1 . x) * ((bD ((bdif f2,h) . 0 ),h) . x)) + ((f2 . (x - h)) * ((bD ((bdif f1,h) . 0 ),h) . x))
by DIFF_1:def 7
.=
((f1 . x) * (((bdif f2,h) . (0 + 1)) . x)) + ((f2 . (x - h)) * ((bD ((bdif f1,h) . 0 ),h) . x))
by DIFF_1:def 7
.=
((f1 . x) * (((bdif f2,h) . 1) . x)) + ((f2 . (x - h)) * (((bdif f1,h) . 1) . x))
by DIFF_1:def 7
;
hence
((bdif (f1 (#) f2),h) . 1) . x = ((f1 . x) * (((bdif f2,h) . 1) . x)) + ((f2 . (x - h)) * (((bdif f1,h) . 1) . x))
; verum