let n be Element of NAT ; :: thesis: for h, x being Real
for f1, f2 being Function of REAL ,REAL holds ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
let h, x be Real; :: thesis: for f1, f2 being Function of REAL ,REAL holds ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
let f1, f2 be Function of REAL ,REAL ; :: thesis: ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x)
defpred S₁[ Element of NAT ] means for x being Real holds ((fdif (f1 + f2),h) . ($1 + 1)) . x = (((fdif f1,h) . ($1 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ($1 + 1)) . x);
A1: for k being Element of NAT st S₁[k] holds
S₁[k + 1]

proof

let k be Element of NAT ; :: thesis: ( S₁[k] implies S₁[k + 1] )
assume A2: for x being Real holds ((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (k + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x) ; :: thesis: S₁[k + 1]
let x be Real; :: thesis: ((fdif (f1 + f2),h) . ((k + 1) + 1)) . x = (((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ((k + 1) + 1)) . x)
A3: ( ((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (k + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x) & ((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . (x + h) = (((fdif f1,h) . (k + 1)) . (x + h)) + (((fdif f2,h) . (k + 1)) . (x + h)) ) by A2;
A4: (fdif (f1 + f2),h) . (k + 1) is Function of REAL ,REAL by Th2;
A5: (fdif f2,h) . (k + 1) is Function of REAL ,REAL by Th2;
A6: (fdif f1,h) . (k + 1) is Function of REAL ,REAL by Th2;
((fdif (f1 + f2),h) . ((k + 1) + 1)) . x = (fD ((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)),h) . x by Def6
.= (((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif (f1 + f2),h) . (k + 1)) . x) by A4, Th3
.= ((((fdif f1,h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif f1,h) . (k + 1)) . x)) + ((((fdif f2,h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x)) by A3
.= ((fD ((fdif f1,h) . (k + 1)),h) . x) + ((((fdif f2,h) . (k + 1)) . (x + h)) - (((fdif f2,h) . (k + 1)) . x)) by A6, Th3
.= ((fD ((fdif f1,h) . (k + 1)),h) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . (k + 1)),h) . x) by A5, Th3
.= (((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . (k + 1)),h) . x) by Def6
.= (((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ((k + 1) + 1)) . x) by Def6 ;
hence ((fdif (f1 + f2),h) . ((k + 1) + 1)) . x = (((fdif f1,h) . ((k + 1) + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . ((k + 1) + 1)) . x) ; :: thesis: verum

end;

A7: S₁[ 0 ]

proof

let x be Real; :: thesis: ((fdif (f1 + f2),h) . (0 + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (0 + 1)) . x)
((fdif (f1 + f2),h) . (0 + 1)) . x = (fD ((fdif (f1 + f2),h) . 0 ),h) . x by Def6
.= (fD (f1 + f2),h) . x by Def6
.= ((f1 + f2) . (x + h)) - ((f1 + f2) . x) by Th3
.= ((f1 . (x + h)) + (f2 . (x + h))) - ((f1 + f2) . x) by VALUED_1:1
.= ((f1 . (x + h)) + (f2 . (x + h))) - ((f1 . x) + (f2 . x)) by VALUED_1:1
.= ((f1 . (x + h)) - (f1 . x)) + ((f2 . (x + h)) - (f2 . x))
.= ((fD f1,h) . x) + ((f2 . (x + h)) - (f2 . x)) by Th3
.= ((fD f1,h) . x) + ((fD f2,h) . x) by Th3
.= ((fD ((fdif f1,h) . 0 ),h) . x) + ((fD f2,h) . x) by Def6
.= ((fD ((fdif f1,h) . 0 ),h) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . 0 ),h) . x) by Def6
.= (((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + ((fD ((fdif f2,h) . 0 ),h) . x) by Def6
.= (((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (0 + 1)) . x) by Def6 ;
hence ((fdif (f1 + f2),h) . (0 + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (0 + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (0 + 1)) . x) ; :: thesis: verum

end;

for n being Element of NAT holds S₁[n] from NAT_1:sch 1(A7, A1);
hence ((fdif (f1 + f2),h) . (n + 1)) . x = (((fdif f1,h) . (n + 1)) . x) + (((fdif f2,h) . (n + 1)) . x) ; :: thesis: verum