let z1, z2 be Element of F_Complex ; :: thesis: ( z1 <> 0. F_Complex & z2 <> 0. F_Complex implies (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) )
reconsider z19 = z1, z29 = z2 as Element of COMPLEX by Def1;
A1: z2 - z1 = z29 - z19 by Th5;
assume A2: z1 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z2 <> 0. F_Complex or (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) )
then A3: z1 " = z19 " by Th7;
assume A4: z2 <> 0. F_Complex ; :: thesis: (z1 " ) - (z2 " ) = (z2 - z1) * ((z1 * z2) " )
then z1 * z2 <> 0. F_Complex by A2, VECTSP_1:44;
then A5: (z1 * z2) " = (z19 * z29) " by Th7;
z2 " = z29 " by A4, Th7;
hence (z1 " ) - (z2 " ) = (z19 " ) - (z29 " ) by A3, Th5
.= (z2 - z1) * ((z1 * z2) " ) by A2, A4, A1, A5, Th9, XCMPLX_1:214 ;
:: thesis: verum