let z2, z4, z1, z3 be Element of ; ( z2 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) - (z3 / z4) = ((z1 * z4) - (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2, z3' = z3, z4' = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
A1:
(z1 * z4) - (z3 * z2) = (z1' * z4') - (z3' * z2')
by Th5;
assume A2:
z2 <> 0. F_Complex
; ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) - (z3 / z4) = ((z1 * z4) - (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
then A3:
z1' / z2' = z1 / z2
by Th8;
assume A4:
z4 <> 0. F_Complex
; (z1 / z2) - (z3 / z4) = ((z1 * z4) - (z3 * z2)) / (z2 * z4)
then A5:
z2 * z4 <> 0. F_Complex
by A2, VECTSP_1:44;
z3' / z4' = z3 / z4
by A4, Th8;
hence (z1 / z2) - (z3 / z4) =
(z1' / z2') - (z3' / z4')
by A3, Th5
.=
((z1' * z4') - (z3' * z2')) / (z2' * z4')
by A2, A4, Th9, XCMPLX_1:131
.=
((z1 * z4) - (z3 * z2)) / (z2 * z4)
by A5, A1, Th8
;
verum