let z2, z4, z1, z3 be Element of ; :: thesis: ( z2 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2, z3' = z3, z4' = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1: z2 <> 0. F_Complex ; :: thesis: ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) )
then A2: z1 / z2 = z1' / z2' by Th8;
assume A3: z4 <> 0. F_Complex ; :: thesis: (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4)
then A4: z2 * z4 <> 0. F_Complex by A1, VECTSP_1:44;
z3 / z4 = z3' / z4' by A3, Th8;
hence (z1 / z2) + (z3 / z4) = ((z1' * z4') + (z3' * z2')) / (z2' * z4') by A1, A3, A2, Th9, XCMPLX_1:117
.= ((z1 * z4) + (z3 * z2)) / (z2 * z4) by A4, Th8 ;
:: thesis: verum