let z2, z3, z4, z1 be Element of ; ( z2 <> 0. F_Complex & z3 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
reconsider z1' = z1, z2' = z2, z3' = z3, z4' = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1:
z2 <> 0. F_Complex
; ( not z3 <> 0. F_Complex or not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
then A2:
z1 / z2 = z1' / z2'
by Th8;
assume A3:
z3 <> 0. F_Complex
; ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3) )
then A4:
z2 * z3 <> 0. F_Complex
by A1, VECTSP_1:44;
assume A5:
z4 <> 0. F_Complex
; (z1 / z2) / (z3 / z4) = (z1 * z4) / (z2 * z3)
then A6:
z3 / z4 = z3' / z4'
by Th8;
z3 / z4 <> 0. F_Complex
by A3, A5, Th62;
hence (z1 / z2) / (z3 / z4) =
(z1' / z2') / (z3' / z4')
by A2, A6, Th8
.=
(z1' * z4') / (z2' * z3')
by XCMPLX_1:85
.=
(z1 * z4) / (z2 * z3)
by A4, Th8
;
verum